Ejercicio resuelto de Repaso de polinomios · Matemáticas I

Desarrollar, aplicando las igualdades notables:

a) $(x^2+5{)}^2=$
b) $(x^3-2{)}^2=$
c) $(x^2-1)(x^2+1)=$
d) $(2x^2+3x{)}^2=$
e) $(2x^2-3{)}^2=$

Las igualdades notables son:
$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$
$(A-B{)}^2=A^2-2AB+B^2$
$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$
En cada caso se identifican $A$ y $B$ y se aplica la igualdad que corresponde.

$\mathbf{\text{a)}}$ Aplicamos el cuadrado de una suma con $A=x^2$ y $B=5$:
$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$
Sustituimos $A$ y $B$:
$(x^2+5{)}^2={\left(x^2\right)}^2+2\cdot x^2\cdot 5+5^2$
Y operamos:
${\left(x^2\right)}^2+2\cdot x^2\cdot 5+5^2=x^4+10x^2+25$


$\mathbf{\text{b)}}$ Aplicamos el cuadrado de una diferencia con $A=x^3$ y $B=2$:
$(A-B{)}^2=A^2-2AB+B^2$
Sustituimos $A$ y $B$:
$(x^3-2{)}^2={\left(x^3\right)}^2-2\cdot x^3\cdot 2+2^2$
Y operamos:
${\left(x^3\right)}^2-2\cdot x^3\cdot 2+2^2=x^6-4x^3+4$


$\mathbf{\text{c)}}$ Aplicamos una suma por diferencia con $A=x^2$ y $B=1$:
$(A+B)(A-B)=A^2-B^2$
Sustituimos $A$ y $B$:
$(x^2-1)(x^2+1)={\left(x^2\right)}^2-1^2$
Y operamos:
${\left(x^2\right)}^2-1^2=x^4-1$


$\mathbf{\text{d)}}$ Aplicamos el cuadrado de una suma con $A=2x^2$ y $B=3x$:
$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$
Sustituimos $A$ y $B$:
$(2x^2+3x{)}^2={\left(2x^2\right)}^2+2\cdot 2x^2\cdot 3x+{\left(3x\right)}^2$
Y operamos:
${\left(2x^2\right)}^2+2\cdot 2x^2\cdot 3x+{\left(3x\right)}^2=4x^4+12x^3+9x^2$


$\mathbf{\text{e)}}$ Aplicamos el cuadrado de una diferencia con $A=2x^2$ y $B=3$:
$(A-B{)}^2=A^2-2AB+B^2$
Sustituimos $A$ y $B$:
$(2x^2-3{)}^2={\left(2x^2\right)}^2-2\cdot 2x^2\cdot 3+3^2$
Y operamos:
${\left(2x^2\right)}^2-2\cdot 2x^2\cdot 3+3^2=4x^4-12x^2+9$