Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Calcular $\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$.

Usamos la fórmula de la tangente del ángulo mitad, que expresa la tangente de ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ en función del coseno y del seno de $\alpha$:

$\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}={\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{\mathrm{sen}\alpha }}$

Observamos que el ángulo ${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ es la mitad de ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, es decir, ${\displaystyle \frac{\pi }{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ (en grados, ${22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }}$ es la mitad de ${45}^{\circ }$). Por tanto tomamos $\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, cuyas razones conocemos:

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Sustituimos en la fórmula:

$\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{\pi }{8}}={\displaystyle \frac{1-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}}{\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}}={\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Operamos el numerador y dividimos:

$\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{\pi }{8}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{2}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}}={\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

Racionalizamos multiplicando numerador y denominador por $\sqrt{2}$:

$\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{\pi }{8}}={\displaystyle \frac{(2-\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}-2}{2}}=\sqrt{2}-1$

Como ${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ pertenece al primer cuadrante, la tangente es positiva, lo que confirma el resultado obtenido.