Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Expresar seno, coseno y tangente de ${1755}^{\circ }$ en función de un ángulo del primer cuadrante. Comprobar el resultado con la calculadora.

Se utiliza la reducción de un ángulo cualquiera al primer cuadrante. Primero se quitan las vueltas completas (cada vuelta son ${360}^{\circ }$) y luego se aplican las relaciones del cuadrante en el que cae el ángulo resultante.

Quitamos las vueltas completas dividiendo entre ${360}^{\circ }$:

$1755:360=4$ vueltas y sobran $1755-4\cdot 360=1755-1440={315}^{\circ }$

Por tanto, ${1755}^{\circ }$ tiene las mismas razones trigonométricas que ${315}^{\circ }$:

$\mathrm{sen}{1755}^{\circ }=\mathrm{sen}{315}^{\circ }\cos {1755}^{\circ }=\cos {315}^{\circ }\mathrm{tg}{1755}^{\circ }=\mathrm{tg}{315}^{\circ }$

El ángulo ${315}^{\circ }$ está en el cuarto cuadrante. Lo expresamos en función de un ángulo del primer cuadrante:

${315}^{\circ }={360}^{\circ }-{45}^{\circ }$

En el cuarto cuadrante se cumplen las relaciones de ángulos opuestos (ángulo de la forma ${360}^{\circ }-\alpha$): el coseno es positivo, mientras que el seno y la tangente son negativos:

$\mathrm{sen}({360}^{\circ }-{45}^{\circ })=-\mathrm{sen}{45}^{\circ }$

$\cos ({360}^{\circ }-{45}^{\circ })=\cos {45}^{\circ }$

$\mathrm{tg}({360}^{\circ }-{45}^{\circ })=-\mathrm{tg}{45}^{\circ }$

Sustituyendo los valores conocidos del ángulo de ${45}^{\circ }$ del primer cuadrante:

$\mathrm{sen}{1755}^{\circ }=-\mathrm{sen}{45}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\cos {1755}^{\circ }=\cos {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\mathrm{tg}{1755}^{\circ }=-\mathrm{tg}{45}^{\circ }=-1$

Comprobación con la calculadora: $\mathrm{sen}{1755}^{\circ }\approx -\mathrm{0,7071}$, $\cos {1755}^{\circ }\approx \mathrm{0,7071}$ y $\mathrm{tg}{1755}^{\circ }=-1$, que coinciden con los resultados obtenidos, ya que ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\approx \mathrm{0,7071}$.