Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas I

Expresar las siguientes razones trigonométricas en función de la de un ángulo del primer cuadrante.

a) $\mathrm{sen}{1300}^{\circ }$

b) $\cos (-{690}^{\circ })$

c) $\mathrm{tg}{170}^{\circ }$

d) $\mathrm{sen}(-{1755}^{\circ })$

e) $\mathrm{sen}(-{120}^{\circ })$

Para reducir cada razón a la de un ángulo del primer cuadrante usamos, en este orden, estas propiedades:

1) Ángulos mayores de una vuelta: una razón trigonométrica no cambia si se suma o se resta un número entero de vueltas, es decir $\alpha$ y $\alpha \pm {360}^{\circ }k$ tienen las mismas razones.

2) Ángulos negativos (reducción al opuesto): $\mathrm{sen}(-\alpha )=-\mathrm{sen}\alpha$, $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$, $\mathrm{tg}(-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$ (e igual para sus inversas: la secante es par, mientras que la cosecante y la cotangente son impares).

3) Reducción al primer cuadrante según el cuadrante donde caiga el ángulo:
$\mathrm{sen}({180}^{\circ }-\alpha )=\mathrm{sen}\alpha$ , $\cos ({180}^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ , $\mathrm{tg}({180}^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$ (segundo cuadrante).
$\mathrm{sen}({180}^{\circ }+\alpha )=-\mathrm{sen}\alpha$ , $\cos ({180}^{\circ }+\alpha )=-\cos \alpha$ (tercer cuadrante).
$\mathrm{sen}({360}^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{sen}\alpha$ , $\cos ({360}^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha$ (cuarto cuadrante).

a) Quitamos vueltas completas: ${1300}^{\circ }-3\cdot {360}^{\circ }={1300}^{\circ }-{1080}^{\circ }={220}^{\circ }$, que está en el tercer cuadrante.
$\mathrm{sen}{1300}^{\circ }=\mathrm{sen}{220}^{\circ }=\mathrm{sen}({180}^{\circ }+{40}^{\circ })=-\mathrm{sen}{40}^{\circ }$

b) El coseno es función par, así que $\cos (-{690}^{\circ })=\cos {690}^{\circ }$. Quitamos una vuelta: ${690}^{\circ }-{360}^{\circ }={330}^{\circ }$, que está en el cuarto cuadrante.
$\cos (-{690}^{\circ })=\cos {330}^{\circ }=\cos ({360}^{\circ }-{30}^{\circ })=\cos {30}^{\circ }$

c) El ángulo ${170}^{\circ }$ está en el segundo cuadrante.
$\mathrm{tg}{170}^{\circ }=\mathrm{tg}({180}^{\circ }-{10}^{\circ })=-\mathrm{tg}{10}^{\circ }$

d) El seno es función impar: $\mathrm{sen}(-{1755}^{\circ })=-\mathrm{sen}{1755}^{\circ }$. Quitamos vueltas: ${1755}^{\circ }-4\cdot {360}^{\circ }={1755}^{\circ }-{1440}^{\circ }={315}^{\circ }$, que está en el cuarto cuadrante.
$\mathrm{sen}{1755}^{\circ }=\mathrm{sen}{315}^{\circ }=\mathrm{sen}({360}^{\circ }-{45}^{\circ })=-\mathrm{sen}{45}^{\circ }$
Por tanto $\mathrm{sen}(-{1755}^{\circ })=-(-\mathrm{sen}{45}^{\circ })=\mathrm{sen}{45}^{\circ }$

e) El seno es función impar: $\mathrm{sen}(-{120}^{\circ })=-\mathrm{sen}{120}^{\circ }$, y ${120}^{\circ }$ está en el segundo cuadrante.
$\mathrm{sen}(-{120}^{\circ })=-\mathrm{sen}({180}^{\circ }-{60}^{\circ })=-\mathrm{sen}{60}^{\circ }$