Ejercicio resuelto de Matemáticas I

18) Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 € y un total de 2000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €, averigua cuántos billetes hay de cada tipo.

Sea:

$x=$ número de billetes de 10 €;
$y=$ número de billetes de 20 €;
$z=$ número de billetes de 50 €.

Planteamos el sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=95\\ 10x+20y+50z=2000\\ x=2y\end{array}$

Ordenamos las ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=95\\ x+2y+5z=200\\ x-2y=0\end{array}$

Matriz ampliada:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 95\\ 1& 2& 5& 200\\ 1& -2& 0& 0\end{array}\right)$

Aplicamos Gauss:





Pasamos de nuevo a sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=95\\ y+4z=105\\ 11z=220\end{array}$

Resolvemos de abajo hacia arriba:

$11z=220\Rightarrow z=20$

$y+4z=105\Rightarrow y+80=105\Rightarrow y=25$

$x+y+z=95\Rightarrow x+25+20=95\Rightarrow x=50$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}x=50\\ y=25\\ z=20\end{array}$

Hay 50 billetes de 10 €, 25 billetes de 20 € y 20 billetes de 50 €.