Ejercicio resuelto de Matemáticas I

15) En una confitería envasan bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 g) que de tamaño mediano (500 g). Sabiendo que el precio del kilogramo de bombones es de 40 € y que el importe total de los bombones envasados asciende a 1250 €. ¿Cuántas cajas de cada tipo se han envasado?

Sea:

$x=$ número de cajas de 250 g;
$y=$ número de cajas de 500 g;
$z=$ número de cajas de 1 kg.

Calculamos el precio de cada tipo de caja:

$250\text{ g}=0.25\text{ kg}\Rightarrow 0.25\cdot 40=10$

$500\text{ g}=0.5\text{ kg}\Rightarrow 0.5\cdot 40=20$

$1\text{ kg}\Rightarrow 1\cdot 40=40$

Planteamos el sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=60\\ x=y+5\\ 10x+20y+40z=1250\end{array}$

Ordenamos las ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=60\\ x-y=5\\ x+2y+4z=125\end{array}$

Matriz ampliada:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 60\\ 1& -1& 0& 5\\ 1& 2& 4& 125\end{array}\right)$

Aplicamos Gauss:





Pasamos de nuevo a sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=60\\ 5z=75\\ y+3z=65\end{array}$

Resolvemos de abajo hacia arriba:

$5z=75\Rightarrow z=15$

$y+3z=65\Rightarrow y+45=65\Rightarrow y=20$

$x+y+z=60\Rightarrow x+20+15=60\Rightarrow x=25$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}x=25\\ y=20\\ z=15\end{array}$

Se han envasado 25 cajas de 250 g, 20 cajas de 500 g y 15 cajas de 1 kg.