Ejercicio resuelto de Matemáticas I

13) Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. Averigua cuántos hombres, mujeres y niños han ido a la excursión.

Sea:

$x=$ número de hombres;
$y=$ número de mujeres;
$z=$ número de niños.

Planteamos el sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=20\\ x+y=3z\\ y+1=x\end{array}$

Ordenamos las ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=20\\ x+y-3z=0\\ x-y=1\end{array}$

Matriz ampliada:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 20\\ 1& 1& -3& 0\\ 1& -1& 0& 1\end{array}\right)$

Aplicamos Gauss:



Reordenamos las filas:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 20\\ 0& -2& -1& -19\\ 0& 0& -4& -20\end{array}\right)$

Pasamos de nuevo a sistema:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=20\\ -2y-z=-19\\ -4z=-20\end{array}$

Resolvemos de abajo hacia arriba:

$-4z=-20\Rightarrow z=5$

$-2y-z=-19\Rightarrow -2y-5=-19\Rightarrow y=7$

$x+y+z=20\Rightarrow x+7+5=20\Rightarrow x=8$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}x=8\\ y=7\\ z=5\end{array}$

Han ido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños.