Ejercicio resuelto de Matemáticas I

2) Una fábrica de chocolates emplea, para una determinada marca, leche, cacao y almendras, siendo la proporción de leche el doble que la de cacao y almendras juntas. Los precios de los ingredientes por kilo son: leche, 0,80 euros; cacao, 4 euros; y almendra, 10 euros. En un día se fabrican 9 000 kg de chocolate de dicha marca con un coste total de 22 800 euros. ¿Cuántos kg se utilizan de cada componente al día?

Sea:

$x=$ kg de leche;
$y=$ kg de cacao;
$z=$ kg de almendras.

Planteamos el sistema:

$\{\begin{array}{l}x=2(y+z)\\ x+y+z=9000\\ 0.8x+4y+10z=22800\end{array}$

Ordenamos las ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x-2y-2z=0\\ x+y+z=9000\\ 0.8x+4y+10z=22800\end{array}$

Matriz ampliada:

$\left(\begin{array}{cccc}1& -2& -2& 0\\ 1& 1& 1& 9000\\ 0.8& 4& 10& 22800\end{array}\right)$

Aplicamos Gauss:





Pasamos de nuevo a sistema:

$\{\begin{array}{l}x-2y-2z=0\\ 3y+3z=9000\\ 18z=18000\end{array}$

Resolvemos de abajo hacia arriba:

$18z=18000\Rightarrow z=1000$

$3y+3z=9000\Rightarrow 3y+3000=9000\Rightarrow y=2000$

$x-2y-2z=0\Rightarrow x-4000-2000=0\Rightarrow x=6000$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}x=6000\\ y=2000\\ z=1000\end{array}$

Se utilizan 6000 kg de leche, 2000 kg de cacao y 1000 kg de almendras.