Ejercicio resuelto de Matemáticas I

5) Andrés, Juan y Luis son tres amigos. Hablando un buen día sobre sus edades observan que: “El doble de la edad de Andrés más el triple de la edad de Juan es tres años superior a cuatro veces la edad de Luis. El triple de la edad de Luis menos el doble de la edad de Juan es siete años inferior al doble de la edad de Andrés. El doble de las edades de Andrés y Luis es tres años inferior a cinco veces la edad de Juan”. ¿Cuál es la edad de cada uno de los amigos?

Sea:

$x=$ edad de Andrés;
$y=$ edad de Juan;
$z=$ edad de Luis.

Planteamos el sistema:

$\{\begin{array}{l}2x+3y=4z+3\\ 3z-2y=2x-7\\ 2x+2z=5y-3\end{array}$

Ordenamos las ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}2x+3y-4z=3\\ -2x-2y+3z=-7\\ 2x-5y+2z=-3\end{array}$

Matriz ampliada:

$\left(\begin{array}{cccc}2& 3& -4& 3\\ -2& -2& 3& -7\\ 2& -5& 2& -3\end{array}\right)$

Aplicamos Gauss:





Pasamos de nuevo a sistema:

$\{\begin{array}{l}2x+3y-4z=3\\ y-z=-4\\ -2z=-38\end{array}$

Resolvemos de abajo hacia arriba:

$-2z=-38\Rightarrow z=19$

$y-z=-4\Rightarrow y-19=-4\Rightarrow y=15$

$2x+3y-4z=3\Rightarrow 2x+45-76=3\Rightarrow 2x=34\Rightarrow x=17$

Por tanto:

$\{\begin{array}{l}x=17\\ y=15\\ z=19\end{array}$

Andrés tiene 17 años, Juan tiene 15 años y Luis tiene 19 años.