Ejercicio resuelto de Constante de equilibrio Kp · Química · 2022

Problema 2. Equilibrio químico.

Un reactor de 10 litros a 1000 ${}^{\circ }C$ contiene una mezcla en equilibrio formada por 6,3 mol de ${\text{CO}}_2$, 2,1 mol de ${\text{H}}_2$, 8,4 mol de $\text{CO}$ y un número indeterminado de moles de ${\text{H}}_2\text{O}$. La presión total del reactor es 209 atm.

a) Calcule $K_C$ y $K_P$ para el equilibrio
${\text{CO}}_2(g)+{\text{H}}_2(g)\rightleftharpoons \text{CO}(g)+{\text{H}}_2\text{O}(g)$
a 1000 ${}^{\circ }C$. (1 punto)
b) Si se extraen del reactor los gases $\text{CO}$ y ${\text{H}}_2\text{O}$ en su totalidad, calcule la cantidad (en moles) de las cuatro sustancias una vez se haya alcanzado el nuevo equilibrio. (1 punto)

Dato: $R=\mathrm{0,082}$ atm·L·mol${}^{-1}$·K${}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}{K}_C\mathbf{\text{y}}{K}_P{\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{equilibrio}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{1000}}}^{\circ }\mathbf{\text{C.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Falta un dato: los moles de agua. Se obtienen del total, que sale de la presión con $T=1000+273=1273$ K:

$n_{\text{total}}=\frac{PV}{RT}=\frac{209\cdot 10}{\mathrm{0,082}\cdot 1273}=\mathrm{20,0}\text{ mol}$

$n({\mathrm{H}}_2\mathrm{O})=\mathrm{20,0}-\mathrm{6,3}-\mathrm{2,1}-\mathrm{8,4}=\mathrm{3,2}\text{ mol}$

Aquí hay un atajo que conviene ver: en este equilibrio hay 2 moles de gas a cada lado, así que en la expresión de $K_c$ los volúmenes se cancelan y se puede trabajar directamente con moles.

$K_c=\frac{[\mathrm{C}\mathrm{O}][{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}]}{[\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2][{\mathrm{H}}_2]}=\frac{\mathrm{8,4}\cdot \mathrm{3,2}}{\mathrm{6,3}\cdot \mathrm{2,1}}=\mathrm{2,05}$

Y por la misma razón, $\mathrm{\Delta }n=0$ y las dos constantes coinciden:

$K_p=K_c(RT{)}^0=K_c=\mathrm{2,05}$

${\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{extraen}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{reactor}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{gases}}\mathbf{\text{CO}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{H}}}_2\mathbf{\text{O}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{totalidad,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{moles)}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{sustancias}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{vez}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{alcanzado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{equilibrio.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Al retirar los dos productos quedan 6,3 mol de $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$ y 2,1 de ${\mathrm{H}}_2$, y nada de producto. El cociente de reacción vale cero, muy por debajo de la constante, así que la reacción avanza hacia la derecha.

Llamando $x$ a los moles que reaccionan de cada reactivo:

$$	$\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$	${\mathrm{H}}_2$	$\mathrm{C}\mathrm{O}$	${\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$ Inicial (mol)	6,3	2,1	0	0 Cambio (mol)	−x	−x	+x	+x Equilibrio (mol)	6,3 − x	2,1 − x	x	x

$K_c=\frac{x^2}{(\mathrm{6,3}-x)(\mathrm{2,1}-x)}=\mathrm{2,05}$

$x^2=\mathrm{2,05}(\mathrm{13,23}-\mathrm{8,4}x+x^2)$

$\mathrm{1,05}{x}^2-\mathrm{17,2}x+\mathrm{27,1}=0$

$x=\frac{\mathrm{17,2}-\sqrt{(\mathrm{17,2}{)}^2-4\cdot \mathrm{1,05}\cdot \mathrm{27,1}}}{2\cdot \mathrm{1,05}}=\mathrm{1,76}\text{ mol}$

(La otra raíz supera los 2,1 moles de ${\mathrm{H}}_2$ disponibles, así que carece de sentido físico.)

$n(\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2)=\mathrm{6,3}-\mathrm{1,76}=\mathrm{4,54}\text{ mol}n({\mathrm{H}}_2)=\mathrm{2,1}-\mathrm{1,76}=\mathrm{0,34}\text{ mol}$

$n(\mathrm{C}\mathrm{O})=n({\mathrm{H}}_2\mathrm{O})=\mathrm{1,76}\text{ mol}$