Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

B.3 [hasta 2,5 puntos]
En una caja hay una bola roja y una bola azul. Se extraen dos bolas de la caja como se explica a continuación: se extrae una bola, y antes de sacar la segunda se devuelve a la caja la primera bola extraída, añadiendo otras dos bolas del mismo color. A continuación, se extrae una segunda bola.

a) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja si la primera que se ha sacado ha sido azul.
b) [1,25 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea azul.
c) [0,75 puntos] Si la segunda bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída haya sido roja?

La caja empieza con una bola roja y una azul, de modo que la primera extracción tiene las dos opciones igual de probables.

$P(R_1)=P(A_1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Lo que cambia el problema es lo que ocurre entre las dos extracciones: se devuelve la bola sacada y se añaden otras dos de su mismo color, con lo que la caja pasa a tener cuatro bolas, tres de ellas del color que salió primero.

$\text{Si sale roja }\Rightarrow 3\text{ rojas y }1\text{ azul};\text{si sale azul }\Rightarrow 1\text{ roja y }3\text{ azules}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{roja}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sacado}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{azul.}}$

Si la primera bola fue azul, la caja queda con una roja y tres azules, cuatro bolas en total.

$P(R_2\mid A_1)={\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathrm{0,25}$

La probabilidad de que la segunda bola sea roja habiendo sido azul la primera es $\mathrm{0,25}$, es decir, un $25\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{azul.}}$

Aquí no se sabe qué salió primero, así que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas del árbol que terminan en azul.

$P(A_2)=P(R_1)\cdot P(A_2\mid R_1)+P(A_1)\cdot P(A_2\mid A_1)$

$P(A_2)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

La probabilidad de que la segunda bola extraída sea azul es $\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$, es decir, un $50\mathrm{\%}$. Es la misma que en la primera extracción, cosa razonable por la simetría del enunciado entre los dos colores.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{azul,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{roja?}}$

Se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera, de modo que se aplica el teorema de Bayes con la probabilidad total ya calculada.

$P(R_1\mid A_2)={\displaystyle \frac{P(R_1)\cdot P(A_2\mid R_1)}{P(A_2)}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Sabiendo que la segunda bola ha sido azul, la probabilidad de que la primera fuese roja es $\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$, es decir, un $25\mathrm{\%}$.