Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

B.3 [hasta 2,5 puntos]
Deiene y Kattalin son jugadoras de baloncesto. Deiene encesta 2 de cada 5 tiros; Kattalin 3 de cada 7.
Si ambas tiran a canasta una sola vez, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) [0,75 puntos] Ambas han encestado.
b) [0,75 puntos] Ninguna ha encestado.
c) [0,5 puntos] Sólo Deiene ha encestado.
d) [0,5 puntos] Al menos una ha encestado.

Se llama $D$ al suceso «Deiene encesta» y $K$ al suceso «Kattalin encesta». Cada una tira por su cuenta, de modo que los dos sucesos son independientes y la probabilidad de cualquier intersección es el producto de las probabilidades.

$P(D)={\displaystyle \frac{2}{5}}\Rightarrow P(\bar{D})={\displaystyle \frac{3}{5}}$

$P(K)={\displaystyle \frac{3}{7}}\Rightarrow P(\bar{K})={\displaystyle \frac{4}{7}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Ambas}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{encestado.}}$

$P(D\cap K)=P(D)\cdot P(K)={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{6}{35}}\approx \mathrm{0,1714}$

La probabilidad de que ambas hayan encestado es $\frac{6}{35}\approx \mathrm{0,1714}$, es decir, un $\mathrm{17,14}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Ninguna}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{encestado.}}$

Si dos sucesos son independientes, también lo son sus contrarios.

$P(\bar{D}\cap \bar{K})=P(\bar{D})\cdot P(\bar{K})={\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{7}}={\displaystyle \frac{12}{35}}\approx \mathrm{0,3429}$

La probabilidad de que ninguna haya encestado es $\frac{12}{35}\approx \mathrm{0,3429}$, es decir, un $\mathrm{34,29}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{S}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{Deiene}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{encestado.}}$

Que solo enceste Deiene significa que ella acierta y Kattalin falla.

$P(D\cap \bar{K})=P(D)\cdot P(\bar{K})={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{7}}={\displaystyle \frac{8}{35}}\approx \mathrm{0,2286}$

La probabilidad de que solo Deiene haya encestado es $\frac{8}{35}\approx \mathrm{0,2286}$, es decir, un $\mathrm{22,86}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{encestado.}}$

Lo más cómodo es pasar al suceso contrario, que es justamente el del apartado (b).

$P(D\cup K)=1-P(\bar{D}\cap \bar{K})=1-{\displaystyle \frac{12}{35}}={\displaystyle \frac{23}{35}}\approx \mathrm{0,6571}$

La probabilidad de que al menos una haya encestado es $\frac{23}{35}\approx \mathrm{0,6571}$, es decir, un $\mathrm{65,71}\mathrm{\%}$.