Ejercicio resuelto de Cinemática · Física y Química 4 ESO

Una piedra cae libremente y pasa por delante de un observador situado a $300\text{ m}$ del suelo. A los dos segundos pasa por delante de otro que está a $200\text{ m}$ del suelo. Calcular: a) altura desde la que cae. b) velocidad con que choca contra el suelo.

$\mathbf{\text{a)}}$ Tomamos positivo hacia arriba y el origen en el suelo. La gravedad tira hacia abajo, así que en las ecuaciones entra con signo menos, con $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$. Llamamos $v_1$ a la velocidad al pasar por el observador de 300 m (negativa, porque cae). En los 2 s siguientes baja hasta 200 m:

$\boxed{{\displaystyle y=y_0+v_0\cdot t-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot t^2}}$
$200=300+v_1\cdot 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{9,8}\cdot 2^2$
$200=300+2\cdot v_1-\mathrm{19,6}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle v_1}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{200-300+\mathrm{19,6}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\mathrm{40,2}\text{ m/s}}\end{array}$
La piedra sale del reposo desde una altura $h$ y llega a 300 m con esa velocidad. Sin tiempos, la relación entre velocidad y altura:
$\boxed{{\displaystyle v^2=v_0^2-2\cdot g\cdot (y-y_0)}}$
$(-\mathrm{40,2}{)}^2=0-2\cdot \mathrm{9,8}\cdot (300-h)$
$\mathrm{1616,04}=\mathrm{19,6}\cdot (h-300)$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle h}& {\displaystyle =300+{\displaystyle \frac{\mathrm{1616,04}}{\mathrm{19,6}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \approx 300+\mathrm{82,45}\approx \mathrm{382,45}\text{ m}}\end{array}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Desde los 300 m hasta el suelo, con la misma relación:
$\boxed{{\displaystyle v^2=v_0^2-2\cdot g\cdot (y-y_0)}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle v^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-\mathrm{40,2}{)}^2-2\cdot \mathrm{9,8}\cdot (0-300)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{1616,04}+5880=\mathrm{7496,04}}\end{array}$
$v=-\sqrt{\mathrm{7496,04}}\approx -\mathrm{86,58}\text{ m/s}$
Negativa porque va hacia abajo.