Ejercicio resuelto de Leyes de los gases · Física y Química 4 ESO

25 g de gas metano, ${\text{CH}}_4$, de densidad $\mathrm{0,656}{\text{kg/m}}^3$, están contenidos en un recipiente cilíndrico de $10\text{ cm}$ de altura en condiciones normales de presión y temperatura.
a) Calcula el radio mínimo necesario para contener el gas sin que varíen ni la presión ni la temperatura;
b) Calcula el radio si la temperatura asciende $100\text{ K}$;
c) Calcula el radio si la presión pasa a ser de $600\text{ mm Hg}$ y la temperatura a $75{}^{\circ }\text{F}$;
d) si el radio fuese de $10\text{ cm}$, y se tratara de un proceso isotérmico, ¿cuál sería la presión?

$\mathbf{\text{a)}}$ Pasamos la densidad a gramos por litro (1 kg = 1000 g y 1 m³ = 1000 L):
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{0,656}{\displaystyle \frac{\cancel{\text{kg}}}{\cancel{{\text{m}}^3}}}\cdot {\displaystyle \frac{1000\text{ g}}{1\cancel{\text{kg}}}}\cdot {\displaystyle \frac{1\cancel{{\text{m}}^3}}{1000\text{ L}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,656}\cdot 1000}{1000}}{\displaystyle \frac{\text{g}}{\text{L}}}=\mathrm{0,656}{\displaystyle \frac{\text{g}}{\text{L}}}}\end{array}$
El volumen que ocupan los 25 g de metano sale de la densidad:
$\boxed{{\displaystyle d={\displaystyle \frac{m}{V}}}}$
Despejamos el volumen, $V={\displaystyle \frac{m}{d}}$:
$V={\displaystyle \frac{25}{\mathrm{0,656}}}\approx \mathrm{38,11}\text{ L}$
Lo pasamos a centímetros cúbicos, como la altura (1 L = 1000 cm³):
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{38,11}\cancel{\text{L}}\cdot {\displaystyle \frac{1000{\text{cm}}^3}{1\cancel{\text{L}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{38,11}\cdot 1000{\text{cm}}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =38110{\text{cm}}^3}\end{array}$
El volumen de un cilindro es:
$\boxed{{\displaystyle V=\pi \cdot r^2\cdot h}}$
Despejamos el radio, $r=\sqrt{{\displaystyle \frac{V}{\pi \cdot h}}}$, con $h=10\text{ cm}$:
$r=\sqrt{{\displaystyle \frac{38110}{\pi \cdot 10}}}\approx \mathrm{34,83}\text{ cm}$
El radio mínimo es el que hace que el cilindro tenga justo ese volumen: unos 34,83 cm.


$\mathbf{\text{b)}}$ Las condiciones normales son 1 atm y 0 °C, es decir, 273 K. Si la temperatura sube 100 K:
$T_2=273+100=373\text{ K}$
La presión no cambia, así que aplicamos la ley de Charles:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{V_1}{T_1}}={\displaystyle \frac{V_2}{T_2}}}}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{38,11}\text{ L}}{273\text{ K}}}={\displaystyle \frac{V_2}{373\text{ K}}}$
Despejamos $V_2$:
$V_2={\displaystyle \frac{\mathrm{38,11}\cdot 373}{273}}\approx \mathrm{52,07}\text{ L}$
Lo pasamos a centímetros cúbicos, como la altura (1 L = 1000 cm³):
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{52,07}\cancel{\text{L}}\cdot {\displaystyle \frac{1000{\text{cm}}^3}{1\cancel{\text{L}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{52,07}\cdot 1000{\text{cm}}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =52070{\text{cm}}^3}\end{array}$
El volumen de un cilindro es:
$\boxed{{\displaystyle V=\pi \cdot r^2\cdot h}}$
Despejamos el radio, $r=\sqrt{{\displaystyle \frac{V}{\pi \cdot h}}}$, con $h=10\text{ cm}$:
$r=\sqrt{{\displaystyle \frac{52070}{\pi \cdot 10}}}\approx \mathrm{40,71}\text{ cm}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Pasamos los grados Fahrenheit a grados Celsius:
$\boxed{{\displaystyle t={\displaystyle \frac{5}{9}}\cdot (t_F-32)}}$
$t={\displaystyle \frac{5}{9}}\cdot (75-32)\approx \mathrm{23,89}{}^{\circ }\text{C}$
Y a kelvin, sumando 273:
$\boxed{{\displaystyle T=t+273}}$
$T_2=\mathrm{23,89}+273\approx \mathrm{296,9}\text{ K}$
Cambian la presión y la temperatura. Partimos de las condiciones normales (760 mm Hg y 273 K) y aplicamos la ecuación general de los gases:
$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{P_1\cdot V_1}{T_1}}={\displaystyle \frac{P_2\cdot V_2}{T_2}}}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\displaystyle \frac{760\text{ mm Hg}\cdot \mathrm{38,11}\text{ L}}{273\text{ K}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{600\text{ mm Hg}\cdot V_2}{\mathrm{296,9}\text{ K}}}}\end{array}$
Despejamos $V_2$:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{760\cdot \mathrm{38,11}\cdot \mathrm{296,9}}{600\cdot 273}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \approx \mathrm{52,50}\text{ L}}\end{array}$
Lo pasamos a centímetros cúbicos, como la altura (1 L = 1000 cm³):
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{52,50}\cancel{\text{L}}\cdot {\displaystyle \frac{1000{\text{cm}}^3}{1\cancel{\text{L}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{52,50}\cdot 1000{\text{cm}}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =52500{\text{cm}}^3}\end{array}$
El volumen de un cilindro es:
$\boxed{{\displaystyle V=\pi \cdot r^2\cdot h}}$
Despejamos el radio, $r=\sqrt{{\displaystyle \frac{V}{\pi \cdot h}}}$, con $h=10\text{ cm}$:
$r=\sqrt{{\displaystyle \frac{52500}{\pi \cdot 10}}}\approx \mathrm{40,88}\text{ cm}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Con un radio de 10 cm, el volumen del cilindro es:
$\boxed{{\displaystyle V=\pi \cdot r^2\cdot h}}$
$V_2=\pi \cdot {10}^2\cdot 10\approx \mathrm{3141,6}{\text{cm}}^3$
En litros (1 L = 1000 cm³):
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{3141,6}\cancel{{\text{cm}}^3}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ L}}{1000\cancel{{\text{cm}}^3}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{3141,6}}{1000}}\text{ L}=\mathrm{3,1416}\text{ L}}\end{array}$
Isotérmico quiere decir a temperatura constante. Desde las condiciones normales (1 atm) aplicamos la ley de Boyle-Mariotte:
$\boxed{{\displaystyle P_1\cdot V_1=P_2\cdot V_2}}$
$1\text{ atm}\cdot \mathrm{38,11}\text{ L}=P_2\cdot \mathrm{3,1416}\text{ L}$
Despejamos $P_2$:
$P_2={\displaystyle \frac{1\cdot \mathrm{38,11}}{\mathrm{3,1416}}}\approx \mathrm{12,13}\text{ atm}$