Ejercicio resuelto de Matemáticas 4 ESO

Calcule $g\circ f$ y su dominio, y $f\circ g$ y su dominio, siendo $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x-2}}$ y $g(x)={\displaystyle \frac{x}{x-3}}$.

a) $(g\circ f)(x)$
b) El dominio de $g\circ f$
c) $(f\circ g)(x)$
d) El dominio de $f\circ g$

$\mathbf{\text{a)}}$ Componer g con f significa meter f dentro de g: donde g tiene una x se escribe f(x) entera.
$\boxed{{\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (g\circ f)(x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =g\left({\displaystyle \frac{1}{x-2}}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x-2}}}{{\displaystyle \frac{1}{x-2}}-3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x-2}}}{{\displaystyle \frac{1-3(x-2)}{x-2}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{1-3(x-2)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{7-3x}}}\end{array}$
Por el camino: común denominador abajo; se van los dos.


$\mathbf{\text{b)}}$ El dominio de una composición no es el dominio de la expresión que sale al final. Se calcula por pasos: el dominio de cada función, la condición de que lo que sale de una caiga dentro del dominio de la siguiente, y al final se cortan todas.

Paso 1. La primera en actuar es f, que es un cociente, y un cociente no existe donde su denominador vale cero:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El denominador}}\\ {\displaystyle \text{no puede ser cero}}\end{array}}}$
$x-2=0$
$x=2$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)=\mathbb{R}-\{2\}$

Paso 2. La segunda es g, que es un cociente, y un cociente no existe donde su denominador vale cero, otra vez:
$x-3=0$
$x=3$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)=\mathbb{R}-\{3\}$

Paso 3. La condición: lo que sale de $f(x)$ tiene que estar en el dominio de g.
El denominador de g no puede ser cero, así que hay que mirar dónde lo anula f(x):
${\displaystyle \frac{1}{x-2}}-3=0$
$1-3(x-2)=0$
$7-3x=0$
$x={\displaystyle \frac{7}{3}}$
Ahí la imagen cae justo donde la siguiente función no existe, así que ese valor se quita del dominio.

Paso 4. Se cortan todas las condiciones, que es lo que dice la definición del dominio de una composición:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g\circ f)=}\\ {\displaystyle \{x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)\mathrm{/}f(x)\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)\}}\end{array}}}$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g\circ f)=\mathbb{R}-\{2,{\displaystyle \frac{7}{3}}\}$
Y aquí está la trampa: en $x=2$ la expresión que ha salido se puede calcular sin ningún problema, pero ese valor no está en el dominio de $g\circ f$, porque ahí la composición no se puede hacer. El dominio se mira ANTES de simplificar.


$\mathbf{\text{c)}}$ Ahora al revés: se mete g dentro de f, o sea, donde f tiene una x se escribe g(x) entera.
$\boxed{{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (f\circ g)(x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =f\left({\displaystyle \frac{x}{x-3}}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x}{x-3}}-2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x-2(x-3)}{x-3}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x-3}{x-2(x-3)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x-3}{6-x}}}\end{array}$
Por el camino: común denominador abajo; se invierte la fracción de abajo.
Las dos composiciones han salido distintas: ${\displaystyle \frac{1}{7-3x}}$ frente a ${\displaystyle \frac{x-3}{6-x}}$. Componer NO es conmutativo, y el orden en que se aplican las funciones cambia el resultado.


$\mathbf{\text{d)}}$ El dominio de una composición no es el dominio de la expresión que sale al final. Se calcula por pasos: el dominio de cada función, la condición de que lo que sale de una caiga dentro del dominio de la siguiente, y al final se cortan todas.

Paso 1. La primera en actuar es g, que es un cociente, y un cociente no existe donde su denominador vale cero:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \text{El denominador}}\\ {\displaystyle \text{no puede ser cero}}\end{array}}}$
$x-3=0$
$x=3$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)=\mathbb{R}-\{3\}$

Paso 2. La segunda es f, que es un cociente, y un cociente no existe donde su denominador vale cero, otra vez:
$x-2=0$
$x=2$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)=\mathbb{R}-\{2\}$

Paso 3. La condición: lo que sale de $g(x)$ tiene que estar en el dominio de f.
El denominador de f no puede ser cero, así que hay que mirar dónde lo anula g(x):
${\displaystyle \frac{x}{x-3}}-2=0$
$x-2(x-3)=0$
$6-x=0$
$x=6$
Ahí la imagen cae justo donde la siguiente función no existe, así que ese valor se quita del dominio.

Paso 4. Se cortan todas las condiciones, que es lo que dice la definición del dominio de una composición:
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f\circ g)=}\\ {\displaystyle \{x\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(g)\mathrm{/}g(x)\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)\}}\end{array}}}$
$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f\circ g)=\mathbb{R}-\{3,6\}$
Y aquí está la trampa: en $x=3$ la expresión que ha salido se puede calcular sin ningún problema, pero ese valor no está en el dominio de $f\circ g$, porque ahí la composición no se puede hacer. El dominio se mira ANTES de simplificar.