Ejercicio resuelto de Razones trigonométricas · Matemáticas 4 ESO

Sabiendo que $\mathrm{sen}{17}^{\circ }=\mathrm{0,29}$, calcula:

a) $\mathrm{sen}{73}^{\circ }$
b) $\mathrm{tg}{73}^{\circ }$

$\mathbf{\text{a)}}$ No hay que tocar la calculadora: ${17}^{\circ }$ y ${73}^{\circ }$ son complementarios, porque ${17}^{\circ }+{73}^{\circ }={90}^{\circ }$. Y el seno de un ángulo es el coseno de su complementario:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{sen}({90}^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha }}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{sen}{73}^{\circ }=\mathrm{sen}({90}^{\circ }-{17}^{\circ })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos {17}^{\circ }}\end{array}$
Falta el coseno de ${17}^{\circ }$, y ese sale de la relación fundamental. Como ${17}^{\circ }$ está en el primer cuadrante, su coseno es positivo, así que se toma la raíz positiva:
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}}$
$\cos {17}^{\circ }=\sqrt{1-{\mathrm{sen}}^2{17}^{\circ }}$
Sustituimos el dato del enunciado:
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \sqrt{1-{\mathrm{0,29}}^2}=\sqrt{\mathrm{0,9159}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{0,9570}}\end{array}$
Redondeando a dos decimales, $\mathrm{sen}{73}^{\circ }=\mathrm{0,96}$.


$\mathbf{\text{b)}}$ El coseno de un ángulo es el seno de su complementario, así que el coseno de ${73}^{\circ }$ es el seno de ${17}^{\circ }$, que es justo el dato del enunciado:
$\boxed{{\displaystyle \cos ({90}^{\circ }-\alpha )=\mathrm{sen}\alpha }}$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \cos {73}^{\circ }=\cos ({90}^{\circ }-{17}^{\circ })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathrm{sen}{17}^{\circ }}\end{array}$
Con eso, la tangente de ${73}^{\circ }$ es el coseno de ${17}^{\circ }$ partido por el seno de ${17}^{\circ }$:
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{tg}\alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\alpha }{\cos \alpha }}}}$
$\mathrm{tg}{73}^{\circ }={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}{73}^{\circ }}{\cos {73}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{\cos {17}^{\circ }}{\mathrm{sen}{17}^{\circ }}}$
Sustituimos el dato del enunciado y el coseno de ${17}^{\circ }$ del apartado anterior:
${\displaystyle \frac{\mathrm{0,9570}}{\mathrm{0,29}}}=\mathrm{3,30}$
La tangente de ${73}^{\circ }$ vale $\mathrm{3,30}$.