Ejercicio resuelto de Costes y umbral de rentabilidad · Economía

Hace unos años, Pere montó una sociedad unipersonal para dedicarse a la fabricación de videojuegos. El año pasado se centró exclusivamente en la fabricación de un único componente que ya tenía patentado y que vendía a otras empresas del sector, las cuales lo incorporaban al producto final que ponían en el mercado.

El año pasado, en concreto, fabricó y vendió 1.200 unidades de este componente a un precio de 50 €/unidad, y los costes fijos y variables totales de los diferentes gastos fueron los siguientes:

Costes fijos totales (CF) anuales	$$ Gerencia y administración	$12.000$ Personal fijo	$21.000$ Alquileres	$1.800$ Seguros	$400$ Otros gastos fijos	$875$

Costes variables totales (CV) anuales	$$ Mano de obra vinculada a la producción	$12.000$ Materia prima	$1.800$ Materiales auxiliares	$1.200$ Energía y comunicación	$600$

a) A partir de los datos del enunciado, calcule el punto muerto (o umbral del beneficio) anual y argumente qué información se desprende del valor obtenido. [0,8 puntos]

b) El año pasado, el objetivo de Pere era llegar a unos beneficios de 9.000 €. Con los datos del enunciado, calcule si obtuvo beneficios o pérdidas, y argumente si alcanzó su objetivo. [0,8 puntos]

c) De cara al año que viene se producirá una nueva situación con las características siguientes:

— Pere podrá fabricar y vender la misma cantidad de producto que el año pasado: 1.200 unidades;

— los costes variables totales serán los mismos que los importes proporcionados en el enunciado;

— los costes fijos totales se verán modificados: en concreto, los costes de personal fijo y los alquileres se incrementarán un 5 %, mientras que el resto de partidas no se modificarán (serán los mismos importes que en el enunciado).

— Teniendo en cuenta esta nueva situación, determine cuál será el importe total de los costes fijos anuales el año que viene. [0,4 puntos]

— Con esta nueva situación, calcule a qué precio habría de vender el producto Pere el año que viene si quiere incrementar los beneficios que obtuvo el año pasado (que ha calculado en el apartado anterior) un 15 %. Para deducir el nuevo precio, utilice la fórmula del beneficio. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{enunciado,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{muerto}}\mathbf{\text{(o}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{beneficio)}}\mathbf{\text{anual}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{argumente}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{informaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desprende}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{obtenido.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Primero se suman los costes fijos y los costes variables totales de las dos tablas del enunciado.

$C_F=12.000+21.000+1.800+400+875=36.075$ €

$C_V=12.000+1.800+1.200+600=15.600$ €

Los costes variables vienen dados en total, así que hay que dividirlos entre las 1.200 unidades fabricadas y vendidas para obtener el coste variable unitario.

$C_{Vu}={\displaystyle \frac{C_V}{q}}$

$C_{Vu}={\displaystyle \frac{15.600}{1.200}}=13$ €/unidad

El punto muerto es la cantidad que iguala los ingresos totales y los costes totales:

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{C_F}{p-C_{Vu}}}$

$Q^{\ast }={\displaystyle \frac{36.075}{50-13}}={\displaystyle \frac{36.075}{37}}=975$ unidades anuales

El resultado indica que Pere ha de fabricar y vender 975 unidades anuales para llegar a su punto muerto. En ese punto el beneficio es cero, y a partir de esa cantidad comenzaría a obtener beneficios positivos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{pasado,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objetivo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Pere}}\mathbf{\text{era}}\mathbf{\text{llegar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{unos}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{9.000}}\mathbf{\text{€.}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{enunciado,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{obtuvo}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{argumente}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{alcanz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{objetivo.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los costes totales para las 1.200 unidades que fabricó y vendió.

$I_T=p\cdot q$

$I_T=50\cdot 1.200=60.000$ €

$C_T=C_F+C_V$

$C_T=36.075+15.600=51.675$ €

$B=I_T-C_T$

$B=60.000-51.675=8.325$ €

Los beneficios del año pasado fueron positivos, de 8.325 €, resultado coherente con el apartado anterior, ya que 1.200 unidades superan el punto muerto de 975. Sin embargo, Pere no alcanzó el objetivo de 9.000 € que se había propuesto: le faltaron 675 €.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Teniendo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cuenta}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{nueva}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{importe}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{fijos}}\mathbf{\text{anuales}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{viene.}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Solo se modifican el personal fijo y los alquileres, que suben un 5 %; el resto de partidas se mantienen.

$\text{Personal fijo}=21.000\cdot \mathrm{1,05}=22.050$ €

$\text{Alquileres}=1.800\cdot \mathrm{1,05}=1.890$ €

Costes fijos totales anuales	Importe (€) Gerencia y administración	$12.000$ Personal fijo	$22.050$ Alquileres	$1.890$ Seguros	$400$ Otros gastos fijos	$875$ COSTES FIJOS TOTALES	$37.215$

El importe total de los costes fijos anuales del año que viene será de 37.215 €.

$\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{nueva}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{Pere}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{viene}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{incrementar}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{obtuvo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{pasado}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{deducir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{precio,}}\mathbf{\text{utilice}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rmula}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{beneficio.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Primero se calcula el beneficio objetivo, que es el del año pasado incrementado un 15 %.

$B=8.325\cdot \mathrm{1,15}=\mathrm{9.573,75}$ €

Los costes variables totales no cambian y siguen siendo de 15.600 €, es decir, 13 €/unidad para las mismas 1.200 unidades. Se sustituye en la fórmula del beneficio y se despeja el precio.

$B=p\cdot q-(C_F+C_{Vu}\cdot q)$

$\mathrm{9.573,75}=1.200\cdot p-(37.215+1.200\cdot 13)$

$\mathrm{9.573,75}=1.200p-52.815$

$p={\displaystyle \frac{\mathrm{62.388,75}}{1.200}}=\mathrm{51,99}$ €

El precio del producto habría de ser de 51,99 €/unidad para conseguir unos beneficios de 9.573,75 €, teniendo en cuenta los nuevos costes fijos totales anuales.