Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Galicia · 2022

PREGUNTA 7. Resuelva este problema:
En una célula fotoeléctrica, el cátodo se ilumina con una radiación de longitud de onda $\lambda =3\times {10}^{-7}$ m.

a) Estudie si la radiación produce efecto fotoeléctrico, considerando que el trabajo de extracción corresponde a una frecuencia de $7\times {10}^{14}$ Hz.
b) Calcule la velocidad máxima de los electrones arrancados y la diferencia de potencial que hay que aplicar entre ánodo y cátodo para que se anule la corriente fotoeléctrica.

DATOS: $\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}$ C; $m_e=\mathrm{9,1}\times {10}^{-31}$ kg; $c=3\times {10}^8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$; $h=\mathrm{6,63}\times {10}^{-34}$ J·s

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{efecto}}\mathbf{\text{fotoel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico,}}\mathbf{\text{considerando}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{corresponde}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">7</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">14</mn></msup></mrow>}\mathbf{\text{Hz.}}$

Hay efecto fotoeléctrico si la frecuencia de la radiación incidente es mayor que la frecuencia umbral del metal. Calculamos la frecuencia de la radiación a partir de su longitud de onda:

$f={\displaystyle \frac{c}{\lambda }}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{3\cdot {10}^{-7}}}$

$f=1\cdot {10}^{15}\text{ Hz}$

Comparamos con la frecuencia umbral:

$f=1\cdot {10}^{15}\text{ Hz}>f_0=7\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

La frecuencia de la radiación es superior a la umbral, así que sí se produce efecto fotoeléctrico: los fotones tienen energía suficiente para arrancar electrones del cátodo. Lo mismo visto en energías:

$E=hf=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot {10}^{15}=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

$W=h{f}_0=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot 7\cdot {10}^{14}=\mathrm{4,64}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Cada fotón aporta $\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$ y hacen falta $\mathrm{4,64}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$ para arrancar un electrón: sobra energía, que se la lleva el electrón como energía cinética.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{arrancados}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{diferencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aplicar}}\mathbf{\text{entre}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{fotoel}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica.}}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética del fotoelectrón:

$hf=W+E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}\Rightarrow E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=h(f-f_0)$

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}({10}^{15}-7\cdot {10}^{14})$

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{1,99}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

De la energía cinética se despeja la velocidad máxima:

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}^2\Rightarrow v_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}}{m_e}}}$

$v_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,99}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}}}=\mathrm{6,61}\cdot {10}^5\text{ m/s}$

La diferencia de potencial que anula la corriente es el potencial de frenado: aquel para el que el trabajo que hay que hacer contra el campo iguala la energía cinética máxima, de modo que ni los electrones más rápidos llegan al ánodo.

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }{V}_{\text{frenado}}=E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}\Rightarrow V_{\text{frenado}}={\displaystyle \frac{E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}}{\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }}}$

$V_{\text{frenado}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,99}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{1,24}\text{ V}$

La velocidad máxima de los electrones arrancados es $\mathrm{6,61}\cdot {10}^5\text{ m/s}$ y hay que aplicar un potencial de frenado de $\mathrm{1,24}\text{ V}$, con el ánodo a menor potencial que el cátodo para que el campo frene a los electrones.