Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Galicia · 2022

PREGUNTA 7. Resuelva este problema:
Al iluminar un metal con luz de frecuencia $\mathrm{2,5}\times {10}^{15}$ Hz se observa que emite electrones que pueden detenerse al aplicar un potencial de frenado de 7,2 V. Si la luz que se emplea con el mismo fin es de longitud de onda en el vacío $\mathrm{1,78}\times {10}^{-7}$ m, dicho potencial pasa a ser de 3,8 V. Determine:

a) el valor de la constante de Planck;
b) el trabajo de extracción del metal.

Datos: $\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,6}\times {10}^{-19}$ C; $c=3\times {10}^8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Planck;}}$

El potencial de frenado es el que detiene a los fotoelectrones más rápidos, de modo que el trabajo eléctrico iguala su energía cinética máxima:

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }{V}_{\text{frenado}}=E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}$

Sustituyendo en la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, $hf=W+E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}$:

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }{V}_{\text{frenado}}=hf-W$

El trabajo de extracción $W$ es el mismo en las dos experiencias, porque el metal es el mismo. Escribimos la ecuación para cada radiación y las restamos, con lo que $W$ desaparece:

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }{V}_1=h{f}_1-W$

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }{V}_2=h{f}_2-W$

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }(V_1-V_2)=h(f_1-f_2)\Rightarrow h={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }(V_1-V_2)}{f_1-f_2}}$

Necesitamos la frecuencia de la segunda radiación, dada por su longitud de onda:

$f_2={\displaystyle \frac{c}{{\lambda }_2}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,78}\cdot {10}^{-7}}}=\mathrm{1,685}\cdot {10}^{15}\text{ Hz}$

Sustituimos:

$h={\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}(\mathrm{7,2}-\mathrm{3,8})}{\mathrm{2,5}\cdot {10}^{15}-\mathrm{1,685}\cdot {10}^{15}}}$

$h={\displaystyle \frac{\mathrm{5,44}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{8,15}\cdot {10}^{14}}}$

$h=\mathrm{6,68}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$

El valor obtenido para la constante de Planck es $\mathrm{6,68}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$, que se aparta un 0,7 % del aceptado, $\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{metal.}}$

Con la constante de Planck ya conocida, basta usar una de las dos experiencias. Tomamos la primera:

$W=h{f}_1-\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }{V}_1$

$W=\mathrm{6,68}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{2,5}\cdot {10}^{15}-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{7,2}$

$W=\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-18}-\mathrm{1,15}\cdot {10}^{-18}$

$W=\mathrm{5,18}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Expresado en electronvoltios, que es la unidad habitual para estas energías:

$W={\displaystyle \frac{\mathrm{5,18}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{3,23}\text{ eV}$

El trabajo de extracción del metal es $\mathrm{5,18}\cdot {10}^{-19}\text{ J}=\mathrm{3,23}\text{ eV}$, al que corresponde una frecuencia umbral de:

$f_0={\displaystyle \frac{W}{h}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,18}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{6,68}\cdot {10}^{-34}}}=\mathrm{7,75}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

Se comprueba con la segunda experiencia, que da el mismo resultado dentro del redondeo, lo que confirma la coherencia de los datos.