Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas CCSS · 2026

Observe la siguiente secuencia de figuras:



a) Determine cuántos cuadrados grises habrá en la figura número 17. Encuentre una fórmula general que relacione el número de cuadrados grises y el número de figura. [2 puntos]

b) Considere la figura número $n$ y la figura número $m$. ¿Es posible que la diferencia entre el número de cuadrados grises de ambas figuras sea 9? En caso afirmativo, ¿cuáles serían $n$ y $m$? Si no es posible, explique por qué. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine cuántos cuadrados grises habrá en la figura número 17. Encuentre una fórmula general que relacione el número de cuadrados grises y el número de figura. [2 puntos]}$

Cada figura es un cuadrado grande de cuadraditos con un hueco blanco en el centro. Contando las tres primeras:

Figura	Lado	Grises	Blancos 1	$3\times3$	8	$1\times1=1$ 2	$4\times4$	12	$2\times2=4$ 3	$5\times5$	16	$3\times3=9$

De una figura a la siguiente se añaden siempre 4 cuadrados grises, así que la sucesión es aritmética de diferencia 4 y su término general es de primer grado:

$g(n)=8+4\,(n-1)=4n+4$

La fórmula se puede justificar de dos maneras. La primera, contando el marco: la figura $n$ tiene lado $n+2$ y el hueco blanco es de lado $n$, de modo que los grises son la diferencia de las dos áreas:

$g(n)=(n+2)^{2}-n^{2}=n^{2}+4n+4-n^{2}=4n+4$

La segunda, viendo el marco como cuatro tiras de $n+1$ cuadraditos que dan la vuelta sin solaparse: $4\,(n+1)=4n+4$.

Para la figura 17:

$g(17)=4\cdot17+4=72\ \text{cuadrados grises}$

$\textbf{b) Considere la figura número n y la figura número m. ¿Es posible que la diferencia entre el número de cuadrados grises de ambas figuras sea 9? [0,5 puntos]}$

La diferencia entre dos figuras cualesquiera es

$g(n)-g(m)=(4n+4)-(4m+4)=4\,(n-m)$

es decir, siempre un múltiplo de 4. Como 9 no es múltiplo de 4 —$9/4=2{,}25$ no es entero—, no es posible: no existen dos figuras cuya diferencia de cuadrados grises sea 9.

Las diferencias posibles son solo $4, 8, 12, 16,\dots$, según cuántos lugares separen a las dos figuras. Para obtener 8, por ejemplo, bastaría tomar dos figuras consecutivas de dos en dos, como la 5 y la 3.