Ejercicio resuelto de Álgebra · Matemáticas CCSS · 2026

Observe la siguiente secuencia de figuras, que consisten en construir hexágonos adyacentes hechos con palitos.



a) Determine cuántos palitos serán necesarios para construir la figura número 16. ¿Cuántos vértices tendrá esa figura? Encuentre una fórmula que relacione el número de figura con el número de palitos y explique cómo ha llegado a ella. [2 puntos]

b) ¿Puede existir una figura con 206 palitos? En caso afirmativo, ¿cuántos vértices tendría? Si no es posible, explique por qué. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine cuántos palitos serán necesarios para construir la figura número 16. ¿Cuántos vértices tendrá esa figura? Encuentre una fórmula que relacione el número de figura con el número de palitos y explique cómo ha llegado a ella. [2 puntos]}$

Lo primero es contar los tres primeros casos y buscar la regularidad:

Figura	Hexágonos	Palitos	Vértices 1	1	6	6 2	2	11	10 3	3	16	14

De una figura a la siguiente se añaden siempre $5$ palitos y $4$ vértices. La razón es geométrica y conviene explicarla: para pegar un hexágono nuevo al anterior no hacen falta sus seis lados, porque uno de ellos —el que comparten— ya está puesto; se añaden, pues, cinco palitos y, con ellos, cuatro vértices nuevos (los otros dos también son compartidos).

Al ser el incremento constante, las dos sucesiones son aritméticas y sus términos generales son de primer grado:

$p(n)=6+5\,(n-1)=5n+1$

$v(n)=6+4\,(n-1)=4n+2$

Se comprueban con la tabla: $p(1)=6$, $p(2)=11$, $p(3)=16$, y lo mismo con los vértices.

Para la figura 16:

$p(16)=5\cdot16+1=81\ \text{palitos}$

$v(16)=4\cdot16+2=66\ \text{vértices}$

$\textbf{b) ¿Puede existir una figura con 206 palitos? En caso afirmativo, ¿cuántos vértices tendría? Si no es posible, explique por qué. [0,5 puntos]}$

Se plantea la ecuación con la fórmula del apartado anterior:

$5n+1=206\Rightarrow 5n=205\Rightarrow n=41$

Como $n=41$ es un número natural, sí existe esa figura: es la que tiene 41 hexágonos. Sus vértices son

$v(41)=4\cdot41+2=166$

La figura de 206 palitos tendría $166$ vértices. Obsérvese que no cualquier número de palitos es posible: al ser $p(n)=5n+1$, solo valen los números que dejan resto 1 al dividirlos entre 5, como 206, pero no 200 ni 210.