Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Se sabe que la suma de tres números naturales es $22$ y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es $61$. ¿Puede ser $15$ uno de los tres números? En caso afirmativo, calcule los restantes. ¿Existen otras opciones? [2,5 puntos]

$\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{suma}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{meros}}\mathbf{\text{naturales}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">22</mn>}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{suma}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{triple}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tercero}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">61</mn>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿Puede}}\mathbf{\text{ser}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">15</mn>}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{meros?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{restantes.}}\mathbf{\text{¿Existen}}\mathbf{\text{otras}}\mathbf{\text{opciones?}}\mathbf{\text{[2,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los tres números naturales, en el orden en que los nombra el enunciado. Las dos condiciones dan dos ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=22\\ 4x+3y+2z=61\end{array}$

Es un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas y las dos ecuaciones son independientes, así que $\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(M\mathrm{\mid }B)=2<3$: el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones reales. La condición de ser números naturales es la que acota el problema.

Restamos a la segunda ecuación el doble de la primera para eliminar $z$.

$(4x+3y+2z)-2(x+y+z)=61-44\Rightarrow 2x+y=17$

Despejamos $y$ y, con la primera ecuación, también $z$, ambos en función de $x$.

$y=17-2x$

$z=22-x-y=22-x-(17-2x)=5+x$

Comprobamos ahora si alguno de los tres puede valer 15.

Si $x=15$, entonces $y=17-30=-13$, que no es un número natural. No es posible.

Si $y=15$, entonces $17-2x=15\Rightarrow x=1$ y $z=5+1=6$. Los tres son naturales, así que sí es posible.

Si $z=15$, entonces $5+x=15\Rightarrow x=10$ y $y=17-20=-3$, que no es natural. No es posible.

Comprobamos la solución hallada: $1+15+6=22$ y $4\cdot 1+3\cdot 15+2\cdot 6=4+45+12=61$.

Sí, 15 puede ser uno de los tres números: los otros dos son 1 y 6, en ese orden. Y no hay otra opción con el 15, porque cada una de las tres posiciones da un único valor de $x$ y solo la segunda produce números naturales. Sí existen, en cambio, otras ternas que cumplen las dos condiciones sin contener el 15: basta tomar $x$ natural con $17-2x\ge 0$, lo que da las soluciones $(0,17,5)$, $(1,15,6)$, $(2,13,7)$, $(3,11,8)$, $(4,9,9)$, $(5,7,10)$, $(6,5,11)$, $(7,3,12)$ y $(8,1,13)$.