Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2020

El rectángulo de la figura se mueve con una cierta velocidad $v$ respecto a un sistema de referencia OXY que consideramos fijo. El cociente entre el área $A$ que mide un observador fijo OXY y el área $A_p$ que mide un observador que viaja junto con el rectángulo es $A\mathrm{/}{A}_p=\mathrm{0,6}$. Calcule, en función de la velocidad de la luz $c$, la velocidad $v$ con la que se mueve el rectángulo respecto a OXY. En la figura la longitud propia de la base del rectángulo es $a$ y su altura es $b$.

$\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathit{c}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathit{v}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{OXY.}}$










La contracción de longitudes solo afecta a la dimensión PARALELA al movimiento. El rectángulo se desplaza a lo largo de su base, de modo que la base se contrae y la altura no cambia:

$a^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{a}{\gamma }}{b}^{\mathrm{\prime }}=b$





El área que mide el observador fijo es, por tanto:

$A=a^{\mathrm{\prime }}{b}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{ab}{\gamma }}={\displaystyle \frac{A_p}{\gamma }}$

y el cociente que da el enunciado es directamente el inverso del factor de Lorentz:

${\displaystyle \frac{A}{A_p}}={\displaystyle \frac{1}{\gamma }}=\mathrm{0,6}\Rightarrow \gamma ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,6}}}=\mathrm{1,67}$

Se despeja la velocidad de la definición del factor de Lorentz:

$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{v}{c}}\right)}^2}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{v}{c}}=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{{\gamma }^2}}}=\sqrt{1-\mathrm{0,36}}$

${\displaystyle \frac{v}{c}}=\sqrt{\mathrm{0,64}}=\mathrm{0,8}$

$v=\mathrm{0,8}c=\mathrm{2,4}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

El rectángulo se mueve a $\mathrm{0,8}c$, es decir, a $\mathrm{2,4}\cdot {10}^8\text{ m/s}$. El problema tiene una trampa cómoda: como solo se contrae una de las dos dimensiones, el cociente de áreas coincide con el cociente de longitudes, y el factor de Lorentz sale de un solo paso.