Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2025

Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de curvatura de 40 cm.

a) Determine la posición y el tamaño de la imagen de un objeto de 4 cm de altura situado delante del espejo a una distancia de 50 cm. Realice el esquema de rayos correspondiente.

b) Determine la posición y el tamaño de la imagen de un objeto de 4 cm de altura situado delante del espejo a una distancia de 25 cm. Realice el esquema de rayos correspondiente.

Se trabaja con el criterio de signos habitual (DIN): la luz incide de izquierda a derecha, el origen está en el vértice del espejo y las distancias medidas hacia la izquierda son negativas. Para un espejo cóncavo el centro de curvatura está delante, de modo que:

$R=-40\text{ cm}f={\displaystyle \frac{R}{2}}=-20\text{ cm}$

Las dos ecuaciones que se usan son la del espejo y la del aumento lateral:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f}}\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}=-{\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{delante}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{espejo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{cm.}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{esquema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{correspondiente.}}$










El objeto está a 50 cm delante del espejo, luego $s=-50\text{ cm}$, más allá del centro de curvatura, que está a 40 cm.

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{-20}}-{\displaystyle \frac{1}{-50}}$





${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}=-\mathrm{0,05}+\mathrm{0,02}=-\mathrm{0,03}$

$s^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{33,3}\text{ cm}$

El signo negativo indica que la imagen se forma delante del espejo: es una imagen real, que se podría recoger en una pantalla.

$\beta =-{\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=-{\displaystyle \frac{-\mathrm{33,3}}{-50}}=-\mathrm{0,667}$

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=-\mathrm{0,667}\cdot 4=-\mathrm{2,67}\text{ cm}$

La imagen se forma a 33,3 cm delante del espejo, entre el foco y el centro de curvatura, y mide 2,67 cm. El signo negativo del tamaño indica que está invertida, y su valor absoluto, que es menor que el objeto.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{delante}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{espejo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{cm.}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{esquema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{correspondiente.}}$










Ahora $s=-25\text{ cm}$: el objeto está entre el centro de curvatura (40 cm) y el foco (20 cm).

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{-20}}-{\displaystyle \frac{1}{-25}}=-\mathrm{0,05}+\mathrm{0,04}$





${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}=-\mathrm{0,01}\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=-100\text{ cm}$

$\beta =-{\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=-{\displaystyle \frac{-100}{-25}}=-4$

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=-4\cdot 4=-16\text{ cm}$

La imagen se forma a 1 m delante del espejo, más allá del centro de curvatura, y mide 16 cm: es real, está invertida y es cuatro veces mayor que el objeto.

Los dos casos ilustran la misma regla: con un espejo cóncavo y el objeto más allá del foco la imagen es siempre real e invertida, y resulta menor o mayor que el objeto según que este esté más allá o más acá del centro de curvatura.