Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Navarra · 2020

A) Velocidad de propagación de luz en distintos medios. Definición del índice de refracción. (1,25 puntos)

B) Un haz de luz blanca llega desde el aire hasta el vidrio con un ángulo de incidencia de ${30}^{\text{o}}$. Las longitudes de onda de la luz roja y de la luz azul son respectivamente 650 nm y 400 nm. Calcula:

a) Las velocidades de la luz roja y de la luz azul en el vidrio. (0,25 puntos)
b) Angulo de separación de los rayos azul y rojo. (0,5 puntos)
c) Dibuja las trayectorias de los rayos azul y rojo. (0,25 puntos)
d) longitudes de onda de los rayos azul y rojo en el vidrio (0,25 puntos)

Datos: índices de refracción en el vidrio $n_{\text{roja}}=\mathrm{1,612}$ y $n_{\text{azul}}=\mathrm{1,671}$; $c=3\cdot {10}^{8}m\mathrm{/}s$

$\mathbf{\text{A)}}\mathbf{\text{Velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{distintos}}\mathbf{\text{medios.}}\mathbf{\text{Definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$










La luz se propaga en el vacío a la velocidad $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$, que es una constante universal y la máxima velocidad posible. En cualquier medio material lo hace más despacio, porque la onda interacciona con los átomos del medio.





El $\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$ de un medio se define precisamente como el cociente entre las dos velocidades:

$n={\displaystyle \frac{c}{v}}$

Es adimensional y siempre mayor o igual que 1: vale 1 en el vacío, 1,0003 en el aire, 1,33 en el agua y entre 1,5 y 1,7 en los vidrios ordinarios. Cuanto mayor es el índice, más refringente es el medio y más despacio se propaga la luz en él.

El índice $\mathbf{\text{depende}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}$: para un mismo vidrio es mayor para el azul que para el rojo. Esa dependencia es la causa de la $\mathbf{\text{dispersi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$, es decir, de que la luz blanca se descomponga en colores al atravesar un prisma, y de que exista el arco iris.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{velocidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{roja}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{azul}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vidrio.}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$v_{\text{roja}}={\displaystyle \frac{c}{n_{\text{roja}}}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,612}}}=\mathrm{1,86}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$v_{\text{azul}}={\displaystyle \frac{c}{n_{\text{azul}}}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,671}}}=\mathrm{1,80}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

La luz azul viaja algo más despacio dentro del vidrio, porque para ella el medio es más refringente.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Angulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{separaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{azul}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{rojo.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se aplica la ley de Snell a cada color por separado, con el mismo ángulo de incidencia:

$\mathrm{sen}{\widehat{r}}_{\text{roja}}={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}{30}^{\circ }}{\mathrm{1,612}}}=\mathrm{0,3102}\Rightarrow {\widehat{r}}_{\text{roja}}={\mathrm{18,07}}^{\circ }$

$\mathrm{sen}{\widehat{r}}_{\text{azul}}={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}{30}^{\circ }}{\mathrm{1,671}}}=\mathrm{0,2992}\Rightarrow {\widehat{r}}_{\text{azul}}={\mathrm{17,41}}^{\circ }$

$\mathrm{\Delta }={\widehat{r}}_{\text{roja}}-{\widehat{r}}_{\text{azul}}={\mathrm{18,07}}^{\circ }-{\mathrm{17,41}}^{\circ }$

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{0,66}}^{\circ }$

Los dos rayos se separan solo ${\mathrm{0,66}}^{\circ }$, pero basta con un recorrido suficiente dentro del vidrio para que la separación se haga visible.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{trayectorias}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{azul}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{rojo.}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

En la figura del primer apartado están las dos trayectorias, con la separación exagerada para que se distingan: el rayo azul se acerca más a la normal que el rojo, porque el vidrio es más refringente para él.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{longitudes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{azul}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{rojo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{(0,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro, así que la longitud de onda se reduce en la misma proporción que la velocidad:

$\lambda ={\displaystyle \frac{{\lambda }_0}{n}}$

${\lambda }_{\text{roja}}={\displaystyle \frac{650}{\mathrm{1,612}}}=403\text{ nm}$

${\lambda }_{\text{azul}}={\displaystyle \frac{400}{\mathrm{1,671}}}=239\text{ nm}$

Dentro del vidrio las dos longitudes de onda se acortan, pero el color no cambia: lo que percibe el ojo es la frecuencia, y esa se mantiene.