Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Un planeta gigante de radio $R$ tiene dos satélites $S_1$ y $S_2$ que giran a su alrededor en órbitas circulares de radios $10R$ y $20R$ respectivamente. La masa del planeta es $M={10}^{27}\text{ kg}$, y el tiempo invertido por el satélite $S_1$ en cada órbita es 4 días, 13 horas y 25 minutos.

a) Calcule el radio $R$ del planeta en km.

b) Calcule la velocidad orbital de $S_1$ en km/s.

c) Calcule el periodo orbital de $S_2$.

Dato: constante de gravitación, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathit{R}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{km.}}$










La única fuerza sobre el satélite es la atracción del planeta, y como su órbita es circular esa fuerza es la centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton y sustituyendo la velocidad por $2\pi r\mathrm{/}T$ se llega a la tercera ley de Kepler:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}\Rightarrow T^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{GM}}{r}^3$





Se despeja el radio de la órbita de $S_1$, con el periodo en segundos:

$T_1=4\cdot 86400+13\cdot 3600+25\cdot 60=\mathrm{3,939}\cdot {10}^5\text{ s}$

$r_1=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{GM{T}_1^2}{4{\pi }^2}}}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {10}^{27}\cdot (\mathrm{3,939}\cdot {10}^5{)}^2}{4{\pi }^2}}}$

$r_1=\mathrm{6,40}\cdot {10}^8\text{ m}$

Como el enunciado dice que esa órbita tiene radio $10R$:

$R={\displaystyle \frac{r_1}{10}}=\mathrm{6,40}\cdot {10}^7\text{ m}=\mathrm{6,40}\cdot {10}^4\text{ km}$

El planeta tiene un radio de unos $64000\text{ km}$, diez veces el terrestre, lo que es coherente con que el enunciado lo llame gigante.



En un movimiento circular uniforme, la velocidad es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el periodo:

$v_1={\displaystyle \frac{2\pi r_1}{T_1}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{6,40}\cdot {10}^8}{\mathrm{3,939}\cdot {10}^5}}$

$v_1=\mathrm{1,02}\cdot {10}^4\text{ m/s}=\mathrm{10,2}\text{ km/s}$



Aquí conviene usar la tercera ley de Kepler en forma de proporción entre los dos satélites, ya que la constante $4{\pi }^2\mathrm{/}(GM)$ es la misma para ambos y no hace falta volver a sustituir los datos:

${\displaystyle \frac{T_2^2}{T_1^2}}={\displaystyle \frac{r_2^3}{r_1^3}}={\left({\displaystyle \frac{20R}{10R}}\right)}^3=2^3=8$

$T_2=T_1\sqrt{8}=T_1\cdot 2\sqrt{2}=\mathrm{3,939}\cdot {10}^5\cdot \mathrm{2,83}$

$T_2=\mathrm{1,11}\cdot {10}^6\text{ s}$

Y expresado en días:

$T_2={\displaystyle \frac{\mathrm{1,11}\cdot {10}^6}{86400}}=\mathrm{12,9}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

Al duplicar el radio de la órbita, el periodo se multiplica por $2\sqrt{2}\approx \mathrm{2,83}$, no por dos: la relación no es lineal sino que el periodo va con la potencia $3\mathrm{/}2$ del radio.