Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El tiempo medio diario de consumo de televisión en Castilla-La Mancha sigue una distribución normal con desviación típica $\sigma =30$ minutos. Se hizo un estudio con 50 personas y se observó que la media de consumo diario de ellas era de 220 minutos. Se pide:

a) Calcula el intervalo de confianza del 95 % para el consumo medio de televisión en Castilla-La Mancha. (1 punto)

b) Razona cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (0,5 puntos)

c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ de consumo diario de televisión en Castilla-La Mancha es de 230 minutos con una probabilidad del 90 %? Razona tu respuesta. (0,5 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706 1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{televisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Castilla-La}}\mathbf{\text{Mancha.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Los datos de la muestra son $n=50$, $\bar{x}=220$ minutos y $\sigma =30$ minutos.

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha =\mathrm{0,95}$, entonces $\alpha =\mathrm{0,05}$ y

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,025}=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{30}{\sqrt{50}}}\approx \mathrm{8,3156}$

$IC=(220-\mathrm{8,3156};220+\mathrm{8,3156})=(\mathrm{211,6844};\mathrm{228,3156})$

Con una confianza del 95 %, el consumo medio diario de televisión está entre 211,6844 y 228,3156 minutos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{amos}}\mathbf{\text{disminuir}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible:

$\text{amplitud}=2E=2z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$

Como $\sigma$ es un dato de la población y no se puede tocar, quedan dos caminos: aumentar el tamaño de la muestra, porque $n$ está en el denominador, o rebajar el nivel de confianza, lo que hace más pequeño $z_{\alpha \mathrm{/}2}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Crees}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathit{\mu }\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{diario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{televisi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Castilla-La}}\mathbf{\text{Mancha}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{230}}\mathbf{\text{minutos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%?}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{tu}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Construimos el intervalo con el nuevo nivel de confianza. Si $1-\alpha =\mathrm{0,90}$, entonces

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$

$E=\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{30}{\sqrt{50}}}\approx \mathrm{6,9791}$

$IC=(220-\mathrm{6,9791};220+\mathrm{6,9791})=(\mathrm{213,0209};\mathrm{226,9791})$

Como 230 no pertenece al intervalo, no es admisible que la media poblacional sea de 230 minutos con ese nivel de confianza. Tampoco lo sería con el 95 % del primer apartado, cuyo intervalo es más ancho y tampoco llega a 230.