Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Un estudio sobre ingredientes de pizza indica que solo al 30 % de la población le gusta la piña en la pizza y de estos, a un 60 % le gustan las anchoas. Sin embargo, de los que no les gusta la piña, el 75 % afirman que no les gustan las anchoas en la pizza.

a) Elegido un individuo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que le gusten las anchoas en la pizza? (0,75 puntos)

b) Si se sabe que a una persona no le gustan las anchoas en la pizza, ¿cuál es la probabilidad de que le guste la piña? (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Elegido}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{individuo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{gusten}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{anchoas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pizza?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Nombramos los sucesos: $P$ = le gusta la piña en la pizza y $A$ = le gustan las anchoas.

Los datos del enunciado son $P(P)=\mathrm{0,30}$ y $P(A\mathrm{/}P)=\mathrm{0,60}$. Del 70 % restante se dice que al 75 % no le gustan las anchoas, así que al otro 25 % sí:

$P(\bar{P})=\mathrm{0,70},P(A\mathrm{/}\bar{P})=1-\mathrm{0,75}=\mathrm{0,25}$



Por el teorema de la probabilidad total:

$P(A)=P(P)P(A\mathrm{/}P)+P(\bar{P})P(A\mathrm{/}\bar{P})=\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,60}+\mathrm{0,70}\cdot \mathrm{0,25}$

$P(A)=\mathrm{0,18}+\mathrm{0,175}=\mathrm{0,355}$

La probabilidad de que a un individuo elegido al azar le gusten las anchoas en la pizza es 0,355.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{gustan}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{anchoas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pizza,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{guste}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pi}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Del apartado anterior obtenemos la probabilidad de que no le gusten las anchoas pasando al suceso contrario:

$P(\bar{A})=1-\mathrm{0,355}=\mathrm{0,645}$

Y ahora aplicamos el teorema de Bayes:

$P(P\mathrm{/}\bar{A})={\displaystyle \frac{P(P)P(\bar{A}\mathrm{/}P)}{P(\bar{A})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,40}}{\mathrm{0,645}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{0,645}}}={\displaystyle \frac{8}{43}}\approx \mathrm{0,1860}$

Entre las personas a las que no les gustan las anchoas, la probabilidad de que les guste la piña es $\frac{8}{43}$, aproximadamente 0,1860.