Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Un club de fútbol tiene 200 abonados de gran antigüedad, 500 abonados con varios años de antigüedad y 300 nuevos abonados. Se pregunta a los abonados si están de acuerdo con una subida de los precios de los abonos a cambio de que el club ofrezca servicios adicionales. Se muestran favorables a la subida 80 abonados de gran antigüedad, 280 con varios años de antigüedad y 120 nuevos abonados. Se pide, razonando la respuesta:

a) Calcule la probabilidad de que un abonado sea nuevo y favorable a la subida. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un abonado, que se sabe que es favorable a la subida, tenga una gran antigüedad en el club. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$G\equiv$ el abonado es de gran antigüedad,
$V\equiv$ el abonado tiene varios años de antigüedad,
$N\equiv$ el abonado es nuevo,
$F\equiv$ el abonado es favorable a la subida.

Ordenamos los recuentos del enunciado en una tabla de contingencia.

$$	$\text{Favorables}$	$\text{No favorables}$	$\text{Total}$ Gran antigüedad	80	120	200 Varios años	280	220	500 Nuevos	120	180	300 Total	480	520	1000

Los tres tipos de abonado forman un sistema completo de sucesos, y las probabilidades condicionadas salen de dividir cada fila por su total: $80\mathrm{/}200=\mathrm{0,4}$, $280\mathrm{/}500=\mathrm{0,56}$ y $120\mathrm{/}300=\mathrm{0,4}$.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{abonado}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{favorable}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{subida.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se pide la probabilidad de una intersección, que se obtiene recorriendo la rama correspondiente del árbol o, directamente, dividiendo la casilla de la tabla entre el total de abonados.

$P(N\cap F)=P(N)\cdot P(F\mathrm{/}N)=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,12}$

$P(N\cap F)={\displaystyle \frac{120}{1000}}=\mathrm{0,12}$

La probabilidad de que un abonado sea nuevo y favorable a la subida es $\mathrm{0,12}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{abonado,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{favorable}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{subida,}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{gran}}\mathbf{\text{antig}}\ddot{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{edad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{club.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Es una probabilidad a posteriori. Primero se calcula la probabilidad de ser favorable con el teorema de la probabilidad total.

$P(F)=P(G)\cdot P(F\mathrm{/}G)+P(V)\cdot P(F\mathrm{/}V)+P(N)\cdot P(F\mathrm{/}N)$

$P(F)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,4}+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,56}+\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,08}+\mathrm{0,28}+\mathrm{0,12}=\mathrm{0,48}$

Se aplica ahora el teorema de Bayes.

$P(G\mathrm{/}F)={\displaystyle \frac{P(G)\cdot P(F\mathrm{/}G)}{P(F)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{\mathrm{0,48}}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1667}$

Si el abonado es favorable a la subida, la probabilidad de que tenga una gran antigüedad en el club es ${\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,1667}$.