Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Un satélite de $2000\text{ kg}$ de masa se encuentra a una altura de $36000\text{ km}$, por encima del ecuador, describiendo una órbita circular geoestacionaria. Calcule:

a) La velocidad y la energía del satélite en su órbita.

b) La aceleración y el peso del satélite en su órbita.

c) Después de un tiempo de funcionamiento, el satélite pierde energía y se mueve en una nueva órbita circular, con una energía total de $-\mathrm{9,526}\cdot {10}^9\text{ J}$. ¿Con qué velocidad lo hace?

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $R_T=6370\text{ km}$; $M_T=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}$










El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra:

$r=R_T+h=6370+36000=42370\text{ km}=\mathrm{4,237}\cdot {10}^7\text{ m}$

En la órbita la fuerza gravitatoria es la centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$





$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{4,237}\cdot {10}^7}}}=\mathrm{3,07}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La energía total de un satélite en órbita circular es la mitad de su energía potencial:

$E=E_c+E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

$E=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\cdot 2000}{2\cdot \mathrm{4,237}\cdot {10}^7}}=-\mathrm{9,41}\cdot {10}^9\text{ J}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}$

La aceleración del satélite es la centrípeta, que coincide con la intensidad del campo gravitatorio a esa distancia:

$a=G{\displaystyle \frac{M_T}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{4,237}\cdot {10}^7{)}^2}}=\mathrm{0,222}{\text{m/s}}^2$

Y el peso es la fuerza gravitatoria sobre el satélite:

$P=ma=2000\cdot \mathrm{0,222}=444\text{ N}$



En una órbita circular la energía total es igual a la energía cinética cambiada de signo, porque $E_c=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{E}_p$ y $E={\displaystyle \frac{1}{2}}{E}_p$:

$E=-E_c=-{\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^{\mathrm{\prime }2}$

Despejando:

$v^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{{\displaystyle \frac{-2E}{m}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{9,526}\cdot {10}^9}{2000}}}=\mathrm{3,09}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

El satélite se mueve ahora algo más deprisa, a $\mathrm{3,09}\text{ km/s}$, a pesar de haber perdido energía: al bajar de órbita gana energía cinética, pero pierde el doble de potencial.