Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Se lanza un satélite artificial desde la superficie de un planeta, verticalmente y con una velocidad de $20\text{ km/s}$. La masa del planeta es dos veces la masa de la Tierra y su radio la mitad del radio terrestre. Calcule:

a) La velocidad de escape del planeta. ¿Se escapa el satélite artificial de dicho planeta?

b) Si en el momento del lanzamiento el satélite tiene una energía cinética de ${10}^{11}\text{ J}$, calcule su masa y la fuerza que ejerce el planeta sobre él.

c) Admitiendo que el satélite queda ligado al planeta en una órbita circular, y recordando que fue lanzado con una velocidad de $20\text{ km/s}$, calcule el radio de dicha órbita.

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}}=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_{\text{Tierra}}=6370\text{ km}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{¿Se}}\mathbf{\text{escapa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{artificial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{planeta?}}$










Los datos del planeta se escriben en función de los terrestres:

$M=2M_T=\mathrm{1,196}\cdot {10}^{25}\text{ kg}$

$R={\displaystyle \frac{R_T}{2}}=\mathrm{3,185}\cdot {10}^6\text{ m}$

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica total cero.





${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,196}\cdot {10}^{25}}{\mathrm{3,185}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{2,24}\cdot {10}^4\text{ m/s}$

La velocidad de escape es de $\mathrm{22,4}\text{ km/s}$, mayor que los $20\text{ km/s}$ con los que se lanza el satélite. Por tanto, el satélite no escapa del planeta: quedará ligado a él.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{lanzamiento}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">11</mn></msup><mtext> J</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ejerce}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{sobre}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{l.}}$

De la definición de energía cinética se despeja la masa:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2\Rightarrow m={\displaystyle \frac{2E_c}{v^2}}={\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{11}}{(2\cdot {10}^4{)}^2}}=500\text{ kg}$

La fuerza en el momento del lanzamiento es el peso del satélite en la superficie del planeta:

$F=G{\displaystyle \frac{Mm}{R^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,196}\cdot {10}^{25}\cdot 500}{(\mathrm{3,185}\cdot {10}^6{)}^2}}$

$F=\mathrm{3,93}\cdot {10}^4\text{ N}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Admitiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{queda}}\mathbf{\text{ligado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{recordando}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{lanzado}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">20</mn><mtext> km/s</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}$

El campo gravitatorio es conservativo, de modo que la energía mecánica del satélite en la órbita es la misma que tenía al lanzarlo:

$E=E_c+E_p={10}^{11}-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}={10}^{11}-\mathrm{1,25}\cdot {10}^{11}=-\mathrm{2,52}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

En una órbita circular la energía total es la mitad de la potencial:

$E=-{\displaystyle \frac{GMm}{2r}}\Rightarrow r=-{\displaystyle \frac{GMm}{2E}}$

$r=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,196}\cdot {10}^{25}\cdot 500}{2\cdot (-\mathrm{2,52}\cdot {10}^{10})}}=\mathrm{7,90}\cdot {10}^6\text{ m}$

El radio de la órbita es de $\mathrm{7,90}\cdot {10}^6\text{ m}$, algo más del doble del radio del planeta.