Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Calcule la velocidad con la que ha de ser lanzado un cuerpo de masa $m$ para colocarlo en órbita circular alrededor de la Tierra, de radio igual a cuatro veces el radio de la Tierra.

Datos: $M_T=\mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_T=6370\text{ km}$; $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$.

El problema tiene dos fases: i) obtener la velocidad que debe llevar el cuerpo una vez en la órbita, y ii) imponer la conservación de la energía mecánica entre la superficie y la órbita para hallar la velocidad de lanzamiento.

i) En la órbita, la fuerza gravitatoria es la centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}_{\text{orb}}^2}{r}}\Rightarrow v_{\text{orb}}^2={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}$





Con $r=4R_T$:

$v_{\text{orb}}^2={\displaystyle \frac{G{M}_T}{4R_T}}$

ii) Como el campo gravitatorio es conservativo:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{orb}}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{4R_T}}$

Sustituyendo $v_{\text{orb}}^2$ y simplificando la masa del cuerpo:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{v}^2={\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T}}-{\displaystyle \frac{G{M}_T}{4R_T}}+{\displaystyle \frac{G{M}_T}{8R_T}}={\displaystyle \frac{7}{8}}{\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T}}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{7G{M}_T}{4R_T}}}$

La velocidad de lanzamiento no depende de la masa $m$ del cuerpo. Sustituyendo, con $R_T=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{ m}$:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{7\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,98}\cdot {10}^{24}}{4\cdot \mathrm{6,37}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{1,05}\cdot {10}^4\text{ m/s}$

Hay que lanzarlo a $\mathrm{10,5}\text{ km/s}$, algo menos que la velocidad de escape terrestre, que vale $\mathrm{11,2}\text{ km/s}$.