Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Una sonda espacial de masa $m$ es lanzada verticalmente desde la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$.

a) Determine la velocidad mínima con la que debe ser lanzada la sonda para que escape del planeta.

b) Si la sonda espacial es lanzada con una energía cinética de ${10}^{11}\text{ J}$, calcule la velocidad de la sonda y el módulo de la fuerza que ejerce el planeta sobre ella en el momento del lanzamiento. ¿Escapa la sonda espacial del planeta?

c) Calcule el peso de la sonda y su aceleración, cuando se encuentra una distancia de $700\text{ km}$ sobre la superficie del planeta.

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; $m=2000\text{ kg}$; $M=\mathrm{1,4}\cdot {10}^{22}\text{ kg}$; $R=7000\text{ km}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{lanzada}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}$










Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se conserva y en el infinito es cero:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}=0$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$





Con los datos del enunciado, en unidades del Sistema Internacional:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,4}\cdot {10}^{22}}{7\cdot {10}^6}}}=517\text{ m/s}$

La velocidad de escape no depende de la masa de la sonda: vale $517\text{ m/s}$ para cualquier cuerpo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{espacial}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{lanzada}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">11</mn></msup><mtext> J</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ejerce}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{ella}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{lanzamiento.}}\mathbf{\text{¿Escapa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{espacial}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta?}}$

De la definición de energía cinética:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E_c}{m}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{11}}{2000}}}={10}^4\text{ m/s}$

La fuerza en el momento del lanzamiento es el peso de la sonda en la superficie:

$F=G{\displaystyle \frac{Mm}{R^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,4}\cdot {10}^{22}\cdot 2000}{(7\cdot {10}^6{)}^2}}=\mathrm{38,1}\text{ N}$

Para saber si escapa se compara la velocidad de lanzamiento con la de escape:

${10}^4\text{ m/s}>517\text{ m/s}$

o, de forma equivalente, se comprueba que su energía mecánica es positiva:

$E=E_c+E_p={10}^{11}-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,4}\cdot {10}^{22}\cdot 2000}{7\cdot {10}^6}}={10}^{11}-\mathrm{2,67}\cdot {10}^8=\mathrm{9,97}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

La energía mecánica es positiva, luego la sonda escapa del planeta con holgura y todavía llegará al infinito con velocidad no nula.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">700</mn><mtext> km</mtext></mrow>}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}$

La distancia al centro del planeta es ahora:

$r=R+h=7\cdot {10}^6+7\cdot {10}^5=\mathrm{7,7}\cdot {10}^6\text{ m}$

$P=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,4}\cdot {10}^{22}\cdot 2000}{(\mathrm{7,7}\cdot {10}^6{)}^2}}=\mathrm{31,5}\text{ N}$

Y la aceleración es la intensidad del campo gravitatorio en ese punto:

$g={\displaystyle \frac{P}{m}}=G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}=\mathrm{1,57}\cdot {10}^{-2}{\text{m/s}}^2$

Al subir un $10\mathrm{\%}$ la distancia al centro, el peso baja de $\mathrm{38,1}$ a $\mathrm{31,5}\text{ N}$, en la proporción que impone el cuadrado de la distancia.