Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una cerrajería se encarga de realizar dos tipos de puertas mixtas, de hierro y madera. Para las puertas tipo TIMANFAYA, necesita 2 metros cuadrados de hierro y 2 metros cuadrados de madera, y para las puertas tipo TABURIENTE, necesita 1 metro cuadrado de hierro y 3 metros cuadrados de madera. Dispone un stock de 1000 metros cuadrados de hierro y 1500 metros cuadrados de madera. La cerrajería obtiene un beneficio de 250 euros por cada puerta tipo TIMANFAYA y, por cada puerta tipo TABURIENTE, obtiene un beneficio de 350 euros.

a) Formular el correspondiente problema de programación lineal.

b) Representar la región factible y determinar sus vértices.

c) ¿Cuántas puertas de cada tipo se deben fabricar, con los metros cuadrados de material disponibles en el almacén, para obtener un beneficio máximo? ¿Cuál es el valor de dicho beneficio?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Formular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal.}}$

Llamamos $x$ al número de puertas del tipo TIMANFAYA e $y$ al de puertas del tipo TABURIENTE.

Ordenamos los datos en una tabla.

$$	${\text{Hierro (m}}^2\text{)}$	${\text{Madera (m}}^2\text{)}$	$\text{Beneficio (€)}$ $\text{TIMANFAYA }(x)$	$2x$	$2x$	$250x$ $\text{TABURIENTE }(y)$	$y$	$3y$	$350y$ $\text{Totales}$	$2x+y$	$2x+3y$	$250x+350y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=250x+350y$

Las restricciones son:

Se dispone de 1000 metros cuadrados de hierro $\Rightarrow$ $2x+y\le 1000$.

Se dispone de 1500 metros cuadrados de madera $\Rightarrow$ $2x+3y\le 1500$.

El número de puertas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0$, $y\ge 0$.

$\text{Maximizar }B(x,y)=250x+350y\text{sujeto a}\{\begin{array}{l}2x+y\le 1000\\ 2x+3y\le 1500\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Representar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices.}}$

Dibujamos las rectas frontera con sus tablas de valores.

$x$	$y=1000-2x$	$y={\displaystyle \frac{1500-2x}{3}}$ $0$	$1000$	$500$ $375$	$250$	$250$

El único vértice que exige resolver un sistema es el corte de las dos rectas.

$\{\begin{array}{l}2x+y=1000\\ 2x+3y=1500\end{array}$

Restando la primera de la segunda:

$2y=500\Rightarrow y=250\Rightarrow 2x=1000-250=750\Rightarrow x=375$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $O(0,0)$, $A(0,500)$, $B(375,250)$ y $C(500,0)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{puertas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deben}}\mathbf{\text{fabricar,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{cuadrados}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{disponibles}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{almac}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio?}}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, evaluamos el beneficio en los vértices.

$B(0,0)=0\text{ €}$

$B(0,500)=350\cdot 500=175000\text{ €}$

$B(375,250)=250\cdot 375+350\cdot 250=93750+87500=181250\text{ €}$

$B(500,0)=250\cdot 500=125000\text{ €}$

Se deben fabricar $375$ puertas TIMANFAYA y $250$ TABURIENTE, con lo que el beneficio máximo es de $181250$ euros.