Ejercicio resuelto de Solubilidad · Química · 2023

En diferentes países, la fluoración del agua de consumo humano es utilizada para prevenir la caries dental.

a) Si el valor del producto de solubilidad ($K_{\mathrm{p}\mathrm{s}}$) del difluoruro de calcio ($\mathrm{C}\mathrm{a}{\mathrm{F}}_2$), a 25 °C, es igual a $\mathrm{3,4}\times {10}^{-11}$, ¿cuál es la solubilidad (en mol/L) de una disolución saturada de $\mathrm{C}\mathrm{a}{\mathrm{F}}_2$?

b) ¿Cuántos moles de fluoruro de sodio (NaF) hay que añadir a 2 L de una disolución acuosa, la cual contiene 20 mg/L de $\mathrm{C}{\mathrm{a}}^{2+}$, para que comience a precipitar $\mathrm{C}\mathrm{a}{\mathrm{F}}_2$?

Datos: masa atómica relativa: $\mathrm{C}\mathrm{a}=\mathrm{40,1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{solubilidad}}\mathbf{\text{(Kps)}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{difluoruro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{calcio}}\mathbf{\text{(CaF₂),}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{°C,}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{3,4}}\mathbf{\text{×}}\mathbf{\text{10⁻¹¹,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{solubilidad}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{mol/L)}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{saturada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{CaF₂?}}$

En agua pura los dos iones proceden únicamente de la sal que se disuelve, así que aparecen en la proporción de la fórmula: por cada calcio, dos fluoruros. Llamando $s$ a la solubilidad molar:

$\mathrm{C}\mathrm{a}{\mathrm{F}}_2(\mathrm{s})\rightleftharpoons \mathrm{C}{\mathrm{a}}^{2+}(\mathrm{a}\mathrm{q})+2{\mathrm{F}}^{-}(\mathrm{a}\mathrm{q})$

$$	$\mathrm{C}{\mathrm{a}}^{2+}$	${\mathrm{F}}^{-}$ Equilibrio (mol/L)	$s$	$2s$

$K_{ps}=[\mathrm{C}{\mathrm{a}}^{2+}][{\mathrm{F}}^{-}{]}^2=s(2s{)}^2=4s^3$

$s^3={\displaystyle \frac{\mathrm{3,4}\cdot {10}^{-11}}{4}}=\mathrm{8,5}\cdot {10}^{-12}$

$s=\sqrt[3]{\mathrm{8,5}\cdot {10}^{-12}}=\mathrm{2,04}\cdot {10}^{-4}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{/}\mathrm{L}$

Es una sal muy poco soluble, lo que explica que el flúor añadido al agua de consumo pueda fijarse en el esmalte dental sin que se disuelva de nuevo con facilidad.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{moles}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fluoruro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sodio}}\mathbf{\text{(NaF)}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{adir}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{L}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{acuosa,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{mg/L}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Ca²⁺,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{comience}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{precipitar}}\mathbf{\text{CaF₂?}}$

Ahora la situación es distinta: el calcio ya está en la disolución y lo que se añade es el otro ion. La precipitación empieza justo cuando el producto de las concentraciones alcanza el valor de $K_{ps}$.

Primero, la concentración de calcio, con $M(\mathrm{C}\mathrm{a})=\mathrm{40,1}$ g/mol y pasando los miligramos a gramos:

$[\mathrm{C}{\mathrm{a}}^{2+}]={\displaystyle \frac{\mathrm{0,020}}{\mathrm{40,1}}}=\mathrm{4,99}\cdot {10}^{-4}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{/}\mathrm{L}$

En el instante en que comienza a precipitar:

$[\mathrm{C}{\mathrm{a}}^{2+}][{\mathrm{F}}^{-}{]}^2=K_{ps}$

$[{\mathrm{F}}^{-}{]}^2={\displaystyle \frac{\mathrm{3,4}\cdot {10}^{-11}}{\mathrm{4,99}\cdot {10}^{-4}}}=\mathrm{6,82}\cdot {10}^{-8}$

$[{\mathrm{F}}^{-}]=\mathrm{2,61}\cdot {10}^{-4}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{/}\mathrm{L}$

El fluoruro de sodio es una sal soluble y se disocia por completo, de modo que aporta un fluoruro por cada unidad de fórmula. En los 2 L de disolución:

$n(\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{F})=\mathrm{2,61}\cdot {10}^{-4}\cdot 2=\mathrm{5,22}\cdot {10}^{-4}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}$

Hay que añadir algo más de medio milimol. Por debajo de esa cantidad el producto de concentraciones es menor que $K_{ps}$ y la disolución no está saturada, así que no se forma precipitado.