Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cataluña · 2021

Tenemos dos ondas monocromáticas, una de $\lambda =750\text{ nm}$, correspondiente al color rojo, y otra de $\lambda =550\text{ nm}$, correspondiente al color verde.

a) ¿Cuál de las dos ondas tiene los fotones más energéticos? Calcule la frecuencia y la energía de un fotón y las de un mol de fotones para cada una de las dos radiaciones. [1,25 puntos]

b) A continuación, queremos reproducir el efecto fotoeléctrico iluminando con luz monocromática una placa de rubidio. Determine la longitud de onda umbral para que se produzca el efecto fotoeléctrico. ¿Serán capaces las ondas visibles del apartado anterior de arrancar un electrón de la superficie del rubidio? Si esto es posible, ¿cuál será la energía cinética adquirida por el electrón? Para el efecto fotoeléctrico, represente esquemáticamente cómo varía la energía cinética máxima de los electrones arrancados en función de la energía de los fotones incidentes. Comente el significado de las dos zonas diferenciadas. [1,25 puntos]

Datos: la función de trabajo del rubidio es $\mathrm{3,46}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; $N_A=\mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}$; $c=\mathrm{3,00}\cdot {10}^8{\text{m s}}^{-1}$; $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J s}$; $m_e=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{ondas}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{fotones}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ticos?}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{fot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mol}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fotones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{radiaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La energía de un fotón es proporcional a su frecuencia e inversamente proporcional a su longitud de onda:

$E=hf=h\frac{c}{\lambda }$

Por tanto, la radiación de menor longitud de onda es la de fotones más energéticos: la luz verde, de $550\text{ nm}$.

Para la luz roja:

$f_{\text{rojo}}=\frac{c}{\lambda }=\frac{\mathrm{3,00}\cdot {10}^8}{750\cdot {10}^{-9}}=\mathrm{4,00}\cdot {10}^{14}\text{Hz}$

$E_{\text{rojo}}=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{4,00}\cdot {10}^{14}=\mathrm{2,65}\cdot {10}^{-19}\text{J}$

Para la luz verde:

$f_{\text{verde}}=\frac{\mathrm{3,00}\cdot {10}^8}{550\cdot {10}^{-9}}=\mathrm{5,45}\cdot {10}^{14}\text{Hz}$

$E_{\text{verde}}=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{5,45}\cdot {10}^{14}=\mathrm{3,62}\cdot {10}^{-19}\text{J}$

La energía de un mol de fotones es la de uno multiplicada por el número de Avogadro:

$E_{\text{mol,rojo}}=\mathrm{2,65}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}=\mathrm{1,60}\cdot {10}^5\text{J/mol}$

$E_{\text{mol,verde}}=\mathrm{3,62}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{6,022}\cdot {10}^{23}=\mathrm{2,18}\cdot {10}^5\text{J/mol}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rubidio.}}\mathbf{\text{¿Arrancar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{electrones}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ondas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior?}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{var}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{fotones}}\mathbf{\text{incidentes.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La longitud de onda umbral es la del fotón cuya energía iguala exactamente la función de trabajo:

$W_0=h\frac{c}{{\lambda }_0}\Rightarrow {\lambda }_0=\frac{hc}{W_0}=\frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{3,00}\cdot {10}^8}{\mathrm{3,46}\cdot {10}^{-19}}$

${\lambda }_0=\mathrm{5,75}\cdot {10}^{-7}\text{m}=575\text{nm}$

Solo producen efecto fotoeléctrico las radiaciones de longitud de onda menor que la umbral:

i) La luz roja, de $750\text{nm}$, no lo produce: $750\text{ nm}>575\text{ nm}$, y su fotón, de $\mathrm{2,65}\cdot {10}^{-19}\text{J}$, no llega a los $\mathrm{3,46}\cdot {10}^{-19}\text{J}$ necesarios.

ii) La luz verde, de $550\text{nm}$, sí lo produce, y la energía sobrante es la energía cinética máxima del electrón:

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=E_{\text{verde}}-W_0=\mathrm{3,62}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{3,46}\cdot {10}^{-19}$

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{1,56}\cdot {10}^{-20}\text{J}$



La gráfica tiene dos zonas bien diferenciadas:

i) Para $E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}<W_0$ no hay emisión: por muy intensa que sea la luz, ningún fotón tiene energía suficiente para arrancar un electrón y la energía cinética es nula.

ii) Para $E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}>W_0$ la energía cinética máxima crece linealmente con la energía del fotón, con pendiente igual a la unidad, según la ecuación de Einstein $E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}-W_0$.