Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cataluña · 2021

En un experimento fotoeléctrico, iluminamos una superficie metálica con una luz verde que tiene una longitud de onda de $\mathrm{546,1}\text{ nm}$. Observamos que el potencial de frenado es de $\mathrm{0,376}\text{ V}$ (tensión para la cual desaparece la corriente).

a) Determine la función de trabajo (trabajo de extracción) de esta superficie metálica. Calcule el umbral de frecuencia para la extracción de fotoelectrones de este metal. [1,25 puntos]

b) Si iluminamos la superficie anterior con una luz amarilla de $\mathrm{587,5}\text{ nm}$, determine la energía de los fotones incidentes. Calcule el potencial de frenado con esta nueva fuente de luz. [1,25 puntos]

Datos: $m_e=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $1\text{ eV}=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; $c=\mathrm{3,00}\cdot {10}^8{\text{m s}}^{-1}$; $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{met}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{umbral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{extracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fotoelectrones.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La energía del fotón de luz verde incidente es:

$E_f=h\frac{c}{\lambda }=\frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{3,00}\cdot {10}^8}{\mathrm{546,1}\cdot {10}^{-9}}$

$E_f=\mathrm{3,64}\cdot {10}^{-19}\text{J}=\mathrm{2,27}\text{eV}$

El potencial de frenado es la tensión que detiene incluso a los electrones más rápidos, de modo que el trabajo eléctrico que hay que hacer para frenarlos iguala su energía cinética máxima:

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }{V}_0=\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{0,376}$

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{-20}\text{J}=\mathrm{0,376}\text{eV}$

Aplicando la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

$W_0=E_f-E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=\mathrm{3,64}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{6,02}\cdot {10}^{-20}$

$W_0=\mathrm{3,04}\cdot {10}^{-19}\text{J}=\mathrm{1,90}\text{eV}$

La frecuencia umbral es aquella cuyo fotón tiene exactamente esa energía:

$W_0=h{f}_0\Rightarrow f_0=\frac{W_0}{h}=\frac{\mathrm{3,04}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}$

$f_0=\mathrm{4,58}\cdot {10}^{14}\text{Hz}$

que corresponde a una longitud de onda umbral de $654\text{nm}$, ya en el rojo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{iluminamos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{amarilla}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">587,5</mn><mtext> nm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{fotones}}\mathbf{\text{incidentes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{frenado.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La energía de los fotones de la luz amarilla es:

$E_f^{\mathrm{\prime }}=h\frac{c}{{\lambda }^{\mathrm{\prime }}}=\frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\cdot \mathrm{3,00}\cdot {10}^8}{\mathrm{587,5}\cdot {10}^{-9}}$

$E_f^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{3,39}\cdot {10}^{-19}\text{J}=\mathrm{2,11}\text{eV}$

Como sigue siendo mayor que el trabajo de extracción, el efecto fotoeléctrico se produce. La energía cinética máxima de los electrones emitidos es ahora:

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}^{\mathrm{\prime }}=E_f^{\mathrm{\prime }}-W_0=\mathrm{3,39}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{3,04}\cdot {10}^{-19}$

$E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{3,46}\cdot {10}^{-20}\text{J}$

Y el potencial de frenado correspondiente:

$V_0^{\mathrm{\prime }}=\frac{E_{c,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}^{\mathrm{\prime }}}{\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }}=\frac{\mathrm{3,46}\cdot {10}^{-20}}{\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}}$

$V_0^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,216}\text{V}$

Con luz amarilla el potencial de frenado es menor que con luz verde, como cabía esperar: los fotones son menos energéticos y los electrones salen más lentos, de modo que basta una tensión menor para detenerlos.