Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cataluña · 2021

a) Escriba el número másico, el número atómico y el número de neutrones que tiene el ${}_7^{13}\text{N}$. En la desintegración del ${}_7^{13}\text{N}$, uno de los protones del núcleo de nitrógeno se transforma según una desintegración ${\beta }^{+}:{}_1^1{p}^{+}\to {}_0^{1}n+{}_{+1}^0{e}^{+}+{}_0^0\nu$. Escriba la reacción de desintegración del ${}_7^{13}\text{N}$. Justifique por qué la desintegración ${\beta }^{+}$ no puede tener lugar fuera de un núcleo. [1,25 puntos]

b) A partir de la ecuación de la evolución de la desintegración, determine la relación entre la constante de desintegración $\lambda$ y el período de semidesintegración. El período de semidesintegración del ${}_7^{13}\text{N}$ es de $\mathrm{9,965}\text{ min}$. Si en un instante determinado hay una masa de $5\text{ ng}$ de ${}_7^{13}\text{N}$, ¿qué cantidad quedará al cabo de $30\text{ min}$? Dé la expresión de la actividad radiactiva en función del tiempo. ¿Cuánto tiempo hay que esperar para que la actividad radiactiva se reduzca hasta un $1\mathrm{\%}$ de su valor inicial? [1,25 puntos]

Datos: ${}_4\text{Be}$, ${}_5\text{B}$, ${}_6\text{C}$, ${}_7\text{N}$, ${}_8\text{O}$, ${}_9\text{F}$, ${}_{10}\text{Ne}$, ${}_{84}\text{Po}$, ${}_{85}\text{At}$, ${}_{86}\text{Rn}$, ${}_{87}\text{Fr}$, ${}_{88}\text{Ra}$, ${}_{89}\text{Ac}$, ${}_{90}\text{Th}$.

Del símbolo del nucleido se leen directamente los dos primeros números, y el tercero es su diferencia:

$A=13Z=7N=A-Z=13-7=6\text{ neutrones}$

En la desintegración ${\beta }^{+}$ un protón del núcleo se transforma en un neutrón, con emisión de un positrón y un neutrino. El número másico no cambia y el número atómico disminuye una unidad, de modo que el nitrógeno se convierte en carbono:

${}_7^{13}\text{N}\to {}_6^{13}\text{C}+{}_{+1}^0{e}^{+}+{}_0^0\nu$

La desintegración no puede darse con un protón libre por una razón energética. La masa del neutrón es mayor que la del protón, así que la reacción:

${}_1^1{p}^{+}\to {}_0^{1}n+{}_{+1}^0{e}^{+}+{}_0^0\nu$

tiene unos productos cuya masa total supera la del protón inicial. Haría falta aportar energía desde fuera, y un protón aislado en reposo no dispone de ella; por eso el protón libre es estable. Dentro de un núcleo, en cambio, la energía de enlace puede suministrar esa diferencia si el núcleo resultante está más fuertemente ligado, y entonces el proceso sí es posible.



La ley de desintegración radiactiva es:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

Por definición, al cabo de un período de semidesintegración queda la mitad de los núcleos:

$\frac{N_0}{2}=N_0{e}^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}\Rightarrow \ln \frac{1}{2}=-\lambda T_{1\mathrm{/}2}$

$T_{1\mathrm{/}2}=\frac{\ln 2}{\lambda }$

Con el período del nitrógeno 13:

$\lambda =\frac{\ln 2}{\mathrm{9,965}}=\mathrm{6,96}\cdot {10}^{-2}{\text{min}}^{-1}=\mathrm{1,16}\cdot {10}^{-3}{\text{s}}^{-1}$

Como la masa es proporcional al número de núcleos, decae siguiendo la misma ley:

$m=m_0{e}^{-\lambda t}=5e^{-\mathrm{6,96}\cdot {10}^{-2}\cdot 30}$

$m=\mathrm{0,620}\text{ng}$

La actividad es el número de desintegraciones por unidad de tiempo, proporcional al número de núcleos presentes:

$A=\lambda N=\lambda N_0{e}^{-\lambda t}=A_0{e}^{-\lambda t}$

Para que se reduzca al $1\mathrm{\%}$ de su valor inicial:

$\mathrm{0,01}{A}_0=A_0{e}^{-\lambda t}\Rightarrow \lambda t=\ln 100$

$t=\frac{\ln 100}{\mathrm{6,96}\cdot {10}^{-2}}=\mathrm{66,2}\text{min}$

Hay que esperar poco más de una hora, que son unos $\mathrm{6,6}$ períodos de semidesintegración.