Ejercicio resuelto de Cambio de variable · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales por el método de sustitución o cambio de variable:

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{(x+1)}^{10}}{x}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x+2}}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt[3]{x}}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{4x^2}}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}}dx}$

Cuando la integral no es inmediata se prueba un cambio de variable que la convierta en una que sí lo sea. Hay que cambiar TODO: la función, la variable y el diferencial, y al final deshacer el cambio.
$\boxed{{\displaystyle x=g(t)⟹dx=g\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(t)dt}}$
Los cambios que suelen funcionar: el binomio igual a $t$; si hay una raíz, el radicando igual a $t^2$ (o a $t^m$ con $m$ el mínimo común múltiplo de los índices si hay varias); y $a^x=t$ si aparece una exponencial.

$\mathbf{\text{a)}}$ Con el cambio $x+1=t$ el numerador se vuelve una potencia limpia:
$x+1=t⟹x=t-1⟹dx=dt$
y la integral queda:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{t^{10}}{t-1}}dt}$
Como arriba hay mucho más grado que abajo, se hace la división (por Ruffini, con la raíz 1):
${\displaystyle \frac{t^{10}}{t-1}}=t^9+t^8+t^7+\cdots +t^2+t+1+{\displaystyle \frac{1}{t-1}}$
Integrando término a término:
$={\displaystyle \frac{t^{10}}{10}}+{\displaystyle \frac{t^9}{9}}+\cdots +{\displaystyle \frac{t^2}{2}}+t+\ln \mid t-1\mid$
Y deshaciendo el cambio ($t-1=x$):
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{(x+1)}^{10}}{x}}dx={\displaystyle \frac{{(x+1)}^{10}}{10}}+{\displaystyle \frac{{(x+1)}^9}{9}}+{\displaystyle \frac{{(x+1)}^8}{8}}+{\displaystyle \frac{{(x+1)}^7}{7}}+{\displaystyle \frac{{(x+1)}^6}{6}}+{\displaystyle \frac{{(x+1)}^5}{5}}+{\displaystyle \frac{{(x+1)}^4}{4}}+{\displaystyle \frac{{(x+1)}^3}{3}}+{\displaystyle \frac{{(x+1)}^2}{2}}+x+1+\ln \mid x\mid +C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Tomamos el radicando igual a $t^2$:
$t^2=x+2⟹x=t^2-2⟹dx=2tdt$
La raíz desaparece:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{t^2-2}{t}}\cdot 2tdt=2{\displaystyle \int (t^2-2)dt}}$
Integramos:
$=2({\displaystyle \frac{t^3}{3}}-2t)={\displaystyle \frac{2t(t^2-6)}{3}}$
Y deshacemos el cambio con $t=\sqrt{x+2}$:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x+2}}}dx={\displaystyle \frac{2}{3}}(x-4)\sqrt{x+2}+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ El índice de la raíz es 3, así que el cambio es $x=t^3$:
$x=t^3⟹dx=3t^{2}dt$
Sustituyendo desaparece la raíz y queda una racional:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{t}{1+t}}\cdot 3t^{2}dt=3{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{t^3}{1+t}}dt}}$
Como el numerador tiene más grado que el denominador, se divide:
${\displaystyle \frac{t^3}{1+t}}=t^2-t+1-{\displaystyle \frac{1}{1+t}}$
e integrando término a término:
$=3({\displaystyle \frac{t^3}{3}}-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}+t-\ln \mid 1+t\mid )$
Y deshacemos el cambio con $t=\sqrt[3]{x}$:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt[3]{x}}}dx=x-{\displaystyle \frac{3\sqrt[3]{x^2}}{2}}+3\sqrt[3]{x}-3\ln \mid 1+\sqrt[3]{x}\mid +C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Se escribe el integrando como una potencia y ya es inmediata, sin necesidad de cambio:
${\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{4x^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{4}}}{x}^{-2\mathrm{/}3}$
Aplicamos la regla de la potencia:
$={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{4}}}\cdot {\displaystyle \frac{x^{1\mathrm{/}3}}{1\mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{3\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{4}}}$
y racionalizando, ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{4}}}\sqrt[3]{x}={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt[3]{2x}$:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{4x^2}}}dx={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt[3]{2x}+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Tomamos $x=t^2$ para quitar la raíz:
$x=t^2⟹dx=2tdt$
Sustituyendo queda una racional en $t$:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{t+1}{t-1}}\cdot 2tdt=2{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{t^2+t}{t-1}}dt}}$
Dividimos, porque arriba hay más grado que abajo:
${\displaystyle \frac{t^2+t}{t-1}}=t+2+{\displaystyle \frac{2}{t-1}}$
e integramos:
$=2({\displaystyle \frac{t^2}{2}}+2t+2\ln \mid t-1\mid )$
Y deshaciendo el cambio con $t=\sqrt{x}$:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}}dx=x+4\sqrt{x}+4\ln \mid \sqrt{x}-1\mid +C}$