Ejercicio resuelto de Cambio de variable · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales por el método de sustitución o cambio de variable:

a) ${\displaystyle \int {(x+2)}^{10}xdx}$
b) ${\displaystyle \int x\sqrt{x-1}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{{(x+1)}^3}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x+1}}dx}$

Cuando la integral no es inmediata se prueba un cambio de variable que la convierta en una que sí lo sea. Hay que cambiar TODO: la función, la variable y el diferencial, y al final deshacer el cambio.
$\boxed{{\displaystyle x=g(t)⟹dx=g\text{\hspace{0.17em}⁣}{}^{\mathrm{\prime }}(t)dt}}$
Los cambios que suelen funcionar: el binomio igual a $t$; si hay una raíz, el radicando igual a $t^2$ (o a $t^m$ con $m$ el mínimo común múltiplo de los índices si hay varias); y $a^x=t$ si aparece una exponencial.

$\mathbf{\text{a)}}$ Hacemos el cambio que sugiere el enunciado:
$x+2=t⟹x=t-2⟹dx=dt$
Sustituyendo queda un producto de potencias de $t$:
${\displaystyle \int t^{10}(t-2)dt={\displaystyle \int (t^{11}-2t^{10})dt}}$
Que ya es inmediata:
$={\displaystyle \frac{t^{12}}{12}}-{\displaystyle \frac{2t^{11}}{11}}$
Y deshacemos el cambio:
${\displaystyle \int {(x+2)}^{10}xdx={\displaystyle \frac{{(x+2)}^{12}}{12}}-{\displaystyle \frac{2{(x+2)}^{11}}{11}}+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Como hay una raíz, tomamos el radicando igual a $t^2$:
$t^2=x-1⟹x=t^2+1⟹dx=2tdt$
Con lo cual la raíz desaparece:
${\displaystyle \int (t^2+1)t\cdot 2tdt=2{\displaystyle \int (t^4+t^2)dt}}$
Integramos:
$=2({\displaystyle \frac{t^5}{5}}+{\displaystyle \frac{t^3}{3}})$
Y deshacemos el cambio con $t=\sqrt{x-1}$:
${\displaystyle \int x\sqrt{x-1}dx=2({\displaystyle \frac{\sqrt{{(x-1)}^5}}{5}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{{(x-1)}^3}}{3}})+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Tomamos $t=e^x$, que es el cambio típico cuando hay exponenciales:
$t=e^x⟹dt=e^{x}dx⟹dx={\displaystyle \frac{dt}{t}}$
Multiplicando antes numerador y denominador por $e^x$:
${\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}={\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}+1}}$
la integral queda de tipo arco tangente en $t$:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{t}{t^2+1}}\cdot {\displaystyle \frac{dt}{t}}={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dt}{1+t^2}}=\mathrm{arctg}t}}$
Y deshacemos el cambio:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}dx=\mathrm{arctg}{e}^x+C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Hacemos el cambio que sugiere el enunciado:
$x+1=t⟹x=t-1⟹dx=dt$
y la fracción se parte en dos potencias:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{t-1}{t^3}}dt={\displaystyle \int (t^{-2}-t^{-3})dt}}$
Integramos:
$=-{\displaystyle \frac{1}{t}}+{\displaystyle \frac{1}{2t^2}}$
Y deshacemos el cambio:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{{(x+1)}^3}}dx=-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}+{\displaystyle \frac{1}{2{(x+1)}^2}}+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Hay una raíz cuadrada, así que tomamos el radicando igual a $t^2$:
$x=t^2⟹dx=2tdt$
Sustituyendo:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{t}{t^2+1}}\cdot 2tdt=2{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{t^2}{t^2+1}}dt}}$
El numerador tiene el grado del denominador, así que se divide antes:
$=2{\displaystyle \int (1-{\displaystyle \frac{1}{t^2+1}})dt=2(t-\mathrm{arctg}t)}$
Y deshacemos el cambio:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x+1}}dx=2(\sqrt{x}-\mathrm{arctg}\sqrt{x})+C}$