Ejercicio resuelto de Recta perpendicular a otra · Matemáticas I

En cada apartado, hallar la recta perpendicular a la dada, por el punto que se indica (hacer un diagrama explicativo):

a) $x-2y+2=0$; $P(3,-1)$.
b) $3x+2y+1=0$; $P(1,-1)$.
c) $\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=2-3\lambda \end{array}$; $P(1,3)$.
d) $y-4=2(x-1)$; $P(1,1)$.
e) $y=2x-5$; $P(-2,3)$.
f) $y-3=2(x+1)$; $O(0,0)$.
g) $x+2y-17=0$; $P(3,7)$.
h) ${\displaystyle \frac{x+4}{3}}={\displaystyle \frac{y+5}{7}}$; $P(-4,-5)$.

La perpendicular a una recta de pendiente $m$ tiene pendiente $m^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{m}}$. En forma general, la perpendicular a $Ax+By+C=0$ es $Bx-Ay+C^{\mathrm{\prime }}=0$ (se intercambian los coeficientes y se cambia un signo). Se impone que pase por el punto dado.

a) $x-2y+2=0$ tiene perpendicular $2x+y+C=0$; por $P(3,-1)$: $2\cdot 3+(-1)+C=0\Rightarrow C=-5$, luego $2x+y-5=0$.

Diagrama del apartado a):


b) $3x+2y+1=0$ tiene perpendicular $2x-3y+C=0$; por $P(1,-1)$: $2-3(-1)+C=0\Rightarrow C=-5$, luego $2x-3y-5=0$.

c) La recta tiene vector director $(1,-3)$, que es el vector normal de la perpendicular: $1(x-1)-3(y-3)=0\Rightarrow x-3y+8=0$.

d) $y-4=2(x-1)$ tiene $m=2$; perpendicular $m^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ por $P(1,1)$: $y-1=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-1)\Rightarrow x+2y-3=0$.

e) $y=2x-5$ tiene $m=2$; perpendicular $m^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ por $P(-2,3)$: $y-3=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+2)\Rightarrow x+2y-4=0$.

f) $y-3=2(x+1)$ tiene $m=2$; perpendicular $m^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ por $O(0,0)$: $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x\Rightarrow x+2y=0$.

g) $x+2y-17=0$ tiene perpendicular $2x-y+C=0$; por $P(3,7)$: $2\cdot 3-7+C=0\Rightarrow C=1$, luego $2x-y+1=0$.

h) La recta tiene vector director $(3,7)$, normal de la perpendicular: $3(x+4)+7(y+5)=0\Rightarrow 3x+7y+47=0$.