Ejercicio resuelto de Fuerzas · Física y Química I

Un cubo con agua, cuya masa total es $m=5\text{ kg}$, gira uniformemente en un plano vertical mediante una cuerda de 50 cm de longitud. ¿Cuál debe ser la mínima velocidad angular de rotación para que el agua no se derrame? Calcular en estas condiciones la tensión de la cuerda en los puntos superior e inferior de la trayectoria vertical.

$\mathbf{\text{Planteamiento}}$

El cubo describe una circunferencia vertical de radio $r$ (la longitud de la cuerda). En el punto más alto, sobre el cubo actúan el peso $P=mg$ (hacia abajo, hacia el centro) y la tensión $T$ de la cuerda (también hacia el centro). La fuerza centrípeta apunta hacia el centro de la circunferencia, por lo que, aplicando la 2ª ley de Newton en ese punto:

$\sum \vec{F}=m{a}_c=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\Rightarrow T+P=m{\omega }^{2}r$

$\mathbf{\text{Velocidad}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}$

El agua no se derrama mientras la cuerda mantenga tensión, o como mínimo mientras la tensión no llegue a anularse en el punto más alto. La condición límite (velocidad mínima) es $T=0$ en el punto superior, de modo que sea el propio peso quien aporte toda la fuerza centrípeta:

$mg=m{\omega }^{2}r\Rightarrow \omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{g}{r}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{9,8}}{\mathrm{0,5}}}}$

$\boxed{{\displaystyle \omega =\mathrm{4,43}\text{ rad/s}}}$

Observa que la velocidad angular mínima no depende de la masa, sino solo de la longitud de la cuerda (radio): cuanto más corta sea la cuerda, mayor habrá de ser dicha velocidad.

$\mathbf{\text{Tensi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{alto}}$

Como acabamos de ver, en las condiciones de velocidad mínima la tensión de la cuerda en el punto más alto es nula:

$\boxed{{\displaystyle T_{\text{sup}}=0\text{ N}}}$

$\mathbf{\text{Tensi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{bajo}}$

En el punto inferior la tensión y el peso tienen sentidos opuestos (la tensión hacia arriba, hacia el centro; el peso hacia abajo), por lo que la 2ª ley de Newton queda:

$\sum \vec{F}=m{a}_c\Rightarrow T-P=m{\omega }^{2}r\Rightarrow T=mg+m{\omega }^{2}r=m(g+{\omega }^{2}r)$

Como en la condición límite ${\omega }^{2}r=g$ (basta sustituir ${\omega }^2=g\mathrm{/}r$), la tensión inferior es simplemente el doble del peso. Con $m=5\text{ kg}$, $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$ y $r=\mathrm{0,5}\text{ m}$:

$T=m(g+{\omega }^{2}r)=2mg=2\cdot 5\cdot \mathrm{9,8}$

$\boxed{{\displaystyle T_{\text{inf}}=98\text{ N}}}$

Nota que, de romperse la cuerda en algún punto, debería ser en el punto inferior, pues allí la tensión debe vencer el peso del cubo y, además, aportar la fuerza centrípeta. En tal caso el cubo saldría lanzado con una velocidad $v=\omega r=\mathrm{4,43}\cdot \mathrm{0,5}\approx \mathrm{2,2}\text{ m/s}$ horizontal (tangente a la trayectoria).