Ejercicio resuelto de Fuerzas · Física y Química I

Un vehículo toma una curva peraltada $6^{\circ }$ y de $190\text{ m}$ de radio con una velocidad constante de $90\text{ km/h}$. Si el coeficiente de rozamiento entre los neumáticos y la carretera es $\mathrm{0,26}$, ¿se saldrá de la curva?

En una curva peraltada recorrida con rapidez constante, el coche describe un movimiento circular uniforme: la resultante de las fuerzas debe ser la fuerza centrípeta, dirigida hacia el centro de la curva (horizontal), de módulo $F_c=m{\displaystyle \frac{v^2}{R}}$. Sobre el coche actúan el peso $\vec{P}$, la normal $\vec{N}$ (perpendicular al plano peraltado) y el rozamiento ${\vec{F}}_R$ (sobre el plano). Buscamos la velocidad máxima: en ese límite el coche tiende a deslizar hacia el exterior (subiendo el peralte), de modo que el rozamiento alcanza su valor máximo $F_R=\mu N$ y apunta hacia abajo del plano.



Aplicamos la 2ª ley de Newton tomando dos ejes ligados al plano inclinado (uno paralelo y otro perpendicular), siendo $\alpha =6^{\circ }$ el ángulo de peralte. La aceleración es la centrípeta $a_c={\displaystyle \frac{v^2}{R}}$, horizontal hacia el centro; sus proyecciones sobre esos ejes son $a_c\cos \alpha$ (paralela, hacia abajo del plano) y $a_c\sin \alpha$ (perpendicular).

$\text{Eje perpendicular al plano:}N-mg\cos \alpha =m{\displaystyle \frac{v^2}{R}}\sin \alpha \Rightarrow N=m\text{\hspace{0.17em}⁣}(g\cos \alpha +{\displaystyle \frac{v^2}{R}}\sin \alpha )$

$\text{Eje paralelo al plano:}mg\sin \alpha +\mu N=m{\displaystyle \frac{v^2}{R}}\cos \alpha$

Sustituyendo $N$ en la ecuación paralela y eliminando la masa $m$:

$g\sin \alpha +\mu \text{\hspace{0.17em}⁣}(g\cos \alpha +{\displaystyle \frac{v^2}{R}}\sin \alpha )={\displaystyle \frac{v^2}{R}}\cos \alpha$

$g(\sin \alpha +\mu \cos \alpha )={\displaystyle \frac{v^2}{R}}(\cos \alpha -\mu \sin \alpha )$

De aquí se despeja la velocidad máxima a la que se puede tomar la curva sin salirse:

$v_{\max }=\sqrt{gR{\displaystyle \frac{\sin \alpha +\mu \cos \alpha }{\cos \alpha -\mu \sin \alpha }}}$

Sustituyendo $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$, $R=190\text{ m}$, $\alpha =6^{\circ }$ y $\mu =\mathrm{0,26}$:

$v_{\max }=\sqrt{\mathrm{9,8}\cdot 190\cdot {\displaystyle \frac{\sin 6^{\circ }+\mathrm{0,26}\cos 6^{\circ }}{\cos 6^{\circ }-\mathrm{0,26}\sin 6^{\circ }}}}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{26,44}\text{ m/s}}}$

Como el coche circula a $90\text{ km/h}=25\text{ m/s}$, que es menor que el valor máximo $\mathrm{26,44}\text{ m/s}$, deducimos que $\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{saldr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{curva}}$.