Ejercicio resuelto de Fuerzas · Física y Química I

Una cuerda de cuyos extremos penden dos masas $M$ y $m(M>m)$ se hace pasar a través de un tubo hueco que no ejerce fricción sobre la cuerda. El sistema se hace girar con un período $T$ alrededor del tubo, como se aprecia en la figura, de modo que la masa $M$ permanece en reposo. Deducir las expresiones de:

a) El ángulo $\theta$ en función de las masas $M$ y $m$.

b) El período $T$ en función de $h$ y $g$.

c) La longitud $L$ en función de las masas, del período $T$ y $g$.

$\mathbf{\text{Planteamiento}}$

La masa $M$ cuelga en reposo del extremo inferior, por lo que la tensión de la cuerda vale $T_c=Mg(1)$. Como el tubo no ejerce fricción, esa misma tensión $T_c$ actúa sobre la masa $m$, que describe una circunferencia horizontal de radio $r$ sostenida por la cuerda de longitud $L$, la cual forma un ángulo $\theta$ con la vertical.

Aplicamos la 2ª ley de Newton a la masa $m$ que gira, descomponiendo la tensión en sus componentes. La componente horizontal aporta la fuerza centrípeta y la vertical equilibra el peso:

$\sum F_x=m{a}_c\Rightarrow T_c\sin \theta =m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}(2)$

$\sum F_y=0\Rightarrow T_c\cos \theta =mg(3)$

donde $T_c=Mg$ por la ecuación (1).

$\mathbf{\text{a)}}\acute{\mathbf{\text{A}}}\mathbf{\text{ngulo}}\theta$

De la ecuación (3), con $T_c=Mg$:

$Mg\cos \theta =mg$

Simplificando $g$:

$\boxed{{\displaystyle \cos \theta ={\displaystyle \frac{m}{M}}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}T$

Partimos de la relación entre el período y la velocidad de giro:

$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}(4)$

La velocidad con que gira la masa $m$ se obtiene de la ecuación (2), con $T_c=Mg$ y $r=L\sin \theta$:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{T_{c}r\sin \theta }{m}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{Mgr\sin \theta }{m}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{Mg{r}^2}{mL}}}=r\sqrt{{\displaystyle \frac{Mg}{mL}}}=r\sqrt{{\displaystyle \frac{g}{L\cos \theta }}}=r\sqrt{{\displaystyle \frac{g}{h}}}$

donde hemos usado que $\sin \theta ={\displaystyle \frac{r}{L}}$ y que $\cos \theta ={\displaystyle \frac{m}{M}}={\displaystyle \frac{h}{L}}$, siendo $h=L\cos \theta$ la profundidad vertical (por tanto ${\displaystyle \frac{M}{m}}={\displaystyle \frac{L}{h}}$).

Sustituyendo en la ecuación (4):

$\boxed{{\displaystyle T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{h}{g}}}}}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Longitud}}L$

De la ecuación (2), con $v=r\sqrt{{\displaystyle \frac{g}{h}}}$, $T_c=Mg$ y $r=L\sin \theta$:

$Mg\sin \theta =m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}=m{\displaystyle \frac{r^{2}g}{rh}}={\displaystyle \frac{mgr}{h}}={\displaystyle \frac{mgL\sin \theta }{h}}$

De la ecuación del período despejamos ${\displaystyle \frac{h}{g}}$:

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{h}{g}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{h}{g}}={\displaystyle \frac{T^2}{4{\pi }^2}}$

Llevando ${\displaystyle \frac{g}{h}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{T^2}}$ a la igualdad anterior:

$Mg\sin \theta ={\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}mL\sin \theta }{T^2}}$

Simplificando $\sin \theta$ y despejando $L$:

$\boxed{{\displaystyle L={\displaystyle \frac{Mg{T}^2}{4{\pi }^{2}m}}}}$