Ejercicio resuelto de Plano inclinado · Física y Química I

Deseamos subir un trineo de $45\text{ kg}$ por una pendiente de ${12}^{\circ }$ de inclinación. Para ello aplicamos una fuerza, con ayuda de una cuerda, que forma un ángulo de ${50}^{\circ }$ con la superficie de la pendiente. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el trineo y la nieve es $\mathrm{0,14}$:

a) Calcular la fuerza que debe aplicarse para subir el trineo con velocidad constante.

b) Si en otra ocasión aplicamos de la misma manera una fuerza de valor doble que en el caso anterior, ¿qué tiempo emplearemos en subir el trineo hasta el final de la cuesta, que está a $18\text{ m}$ de altura, si partimos del reposo?

Tomamos ejes ligados al plano: el eje $x$ a lo largo de la pendiente (sentido de subida positivo) y el eje $y$ perpendicular a ella. Sobre el trineo actúan: la fuerza aplicada $\vec{F}$ (a ${50}^{\circ }$ del plano), el peso $\vec{P}$, la normal $\vec{N}$ y la fuerza de rozamiento ${\vec{F}}_R$. La 2ª ley de Newton es:

$\sum \vec{F}=m\vec{a}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Velocidad}}\mathbf{\text{constante}}$

Si la velocidad es constante, la aceleración es nula ($\vec{a}=0$). Proyectando sobre los ejes $x$ e $y$:

$F\cos \beta -(P_x+F_R)=0$

$N+F_y-P_y=0\Rightarrow N=P_y-F_y$

Donde $\beta ={50}^{\circ }$, $P_x=mg\sin \alpha$, $P_y=mg\cos \alpha$, $F_y=F\sin \beta$ y la fuerza de rozamiento $F_R=\mu N=\mu (mg\cos \alpha -F\sin \beta )$. Sustituyendo en la ecuación del eje $x$:

$F\cos \beta =mg\sin \alpha +\mu (mg\cos \alpha -F\sin \beta )$

Agrupando los términos que contienen $F$ y despejando:

$F=mg{\displaystyle \frac{\sin \alpha +\mu \cos \alpha }{\cos \beta +\mu \sin \beta }}$

Sustituyendo los datos ($m=45\text{ kg}$, $g=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$, $\alpha ={12}^{\circ }$, $\beta ={50}^{\circ }$, $\mu =\mathrm{0,14}$):

$F=45\cdot \mathrm{9,8}\cdot {\displaystyle \frac{\sin {12}^{\circ }+\mathrm{0,14}\cos {12}^{\circ }}{\cos {50}^{\circ }+\mathrm{0,14}\sin {50}^{\circ }}}\approx \boxed{{\displaystyle \mathrm{202,76}\text{ N}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Tiempo}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{doble}}$

Ahora la fuerza vale $F^{\mathrm{\prime }}=2F=\mathrm{405,52}\text{ N}$, por lo que el trineo ya no sube con velocidad constante, sino acelerado. Aplicando de nuevo la 2ª ley de Newton, ahora con $a\mathrm{\ne }0$ en el eje $x$:

$F^{\mathrm{\prime }}\cos \beta -(P_x+F_R)=ma$

donde $F_R=\mu (mg\cos \alpha -F^{\mathrm{\prime }}\sin \beta )$. Despejando la aceleración:

$a={\displaystyle \frac{F^{\mathrm{\prime }}\cos \beta -mg\sin \alpha -\mu (mg\cos \alpha -F^{\mathrm{\prime }}\sin \beta )}{m}}=\mathrm{3,38}{\text{m/s}}^2$

La distancia $r$ que recorre el trineo sobre la rampa se relaciona con la altura $h=18\text{ m}$ mediante el seno del ángulo:

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{h}{r}}\Rightarrow r={\displaystyle \frac{h}{\sin \alpha }}={\displaystyle \frac{18}{\sin {12}^{\circ }}}=\mathrm{86,58}\text{ m}$

Como parte del reposo ($v_0=0$), aplicamos la ecuación del MRUA $r={\displaystyle \frac{1}{2}}a{t}^2$ y despejamos el tiempo:

$t=\sqrt{{\displaystyle \frac{2r}{a}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{86,58}}{\mathrm{3,38}}}}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{7,16}\text{ s}}}$