Ejercicio resuelto de Plano inclinado · Física y Química I

Un cuerpo de masa $m_1=6\text{ kg}$ se halla sujeto a un muelle ($K=800\text{ N/m}$) y a otro cuerpo $m_2=10\text{ kg}$ mediante una cuerda inextensible y de masa despreciable, tal y como se indica en la figura. El plano inclinado no posee rozamiento importante, y todo el sistema se encuentra en equilibrio.

a) Determinar la deformación del resorte.

b) En cierto momento se rompe la cuerda, de tal forma que $m_2$ desliza sobre el plano inclinado recorriendo sobre él una distancia de $\mathrm{1,5}\text{ m}$ hasta llegar al punto A. En la superficie horizontal existe rozamiento ($\mu =\mathrm{0,14}$). En el punto B hay otro objeto $m_3=18\text{ kg}$ con el que choca, de manera que tras el choque $m_2$ se detiene y $m_3$ empieza a moverse a $\mathrm{1,2}\text{ m/s}$. Determinar la distancia AB.

c) Si la distancia BC es de $\mathrm{0,8}\text{ m}$, ¿llegará a caer $m_3$ por el punto C o se detendrá antes?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Deformaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{resorte}}\mathbf{\text{(sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{equilibrio)}}$

En el equilibrio aplicamos la 2ª ley de Newton ($\sum \vec{F}=0$) a cada cuerpo. El plano inclinado tiene un ángulo $\alpha$ (según la figura, $\alpha ={20}^{\circ }$). Como no hay rozamiento en el plano, la fuerza elástica del muelle debe sostener las componentes del peso de $m_1$ y $m_2$ a lo largo del plano. Combinando las ecuaciones de ambos cuerpos:

$F_{el}=(m_1+m_2)g\sin \alpha \Rightarrow Kx=(m_1+m_2)g\sin \alpha$

Despejando la deformación:

$x={\displaystyle \frac{(m_1+m_2)g\sin \alpha }{K}}={\displaystyle \frac{(6+10)\cdot \mathrm{9,8}\cdot \sin {20}^{\circ }}{800}}$

$\boxed{{\displaystyle x=\mathrm{6,7}\text{ cm}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Distancia}}\mathbf{\text{AB}}$

$\mathit{\text{1)}}\mathit{\text{Bajada}}\mathit{\text{por}}\mathit{\text{el}}\mathit{\text{plano}}\mathit{\text{(sin}}\mathit{\text{rozamiento)}}$

Al romperse la cuerda, $m_2$ desliza por el plano. Como no hay rozamiento, la 2ª ley de Newton da:

$m_{2}g\sin \alpha =m_{2}a\Rightarrow a=g\sin \alpha =\mathrm{9,8}\cdot \sin {20}^{\circ }=\mathrm{3,35}{\text{m/s}}^2$

Con las ecuaciones del MRUA, recorriendo $d=\mathrm{1,5}\text{ m}$ partiendo del reposo, la velocidad al llegar a A es:

$v_A=\sqrt{2ad}=\sqrt{2\cdot \mathrm{3,35}\cdot \mathrm{1,5}}=\mathrm{3,17}\text{ m/s}$

$\mathit{\text{2)}}\mathit{\text{El}}\mathit{\text{choque}}\mathit{\text{en}}\mathit{\text{B}}\mathit{\text{(conservaci}}\acute{\mathit{\text{o}}}\mathit{\text{n}}\mathit{\text{del}}\mathit{\text{momento}}\mathit{\text{lineal)}}$

En el choque se conserva el momento lineal del sistema. Antes solo se mueve $m_2$ (con la velocidad $v$ que tendrá al llegar a B); después solo se mueve $m_3$ a $\mathrm{1,2}\text{ m/s}$:

$m_{2}v=m_3\cdot \mathrm{1,2}\Rightarrow v={\displaystyle \frac{m_3\cdot \mathrm{1,2}}{m_2}}={\displaystyle \frac{18\cdot \mathrm{1,2}}{10}}=\mathrm{2,16}\text{ m/s}$

Esta es la velocidad de $m_2$ justo antes del choque, es decir, al llegar a B: $v_B=\mathrm{2,16}\text{ m/s}$.

$\mathit{\text{3)}}\mathit{\text{Tramo}}\mathit{\text{A}}\to \mathit{\text{B}}\mathit{\text{con}}\mathit{\text{rozamiento}}$

En el suelo horizontal $m_2$ frena por el rozamiento. La 2ª ley de Newton da:

$-\mu m_{2}g=m_{2}a\Rightarrow a=-\mu g=-\mathrm{0,14}\cdot \mathrm{9,8}=-\mathrm{1,37}{\text{m/s}}^2$

Entre A y B la velocidad pasa de $v_A=\mathrm{3,17}\text{ m/s}$ a $v_B=\mathrm{2,16}\text{ m/s}$. Aplicando $v_B^2=v_A^2+2a{d}_{AB}$:

$d_{AB}={\displaystyle \frac{v_B^2-v_A^2}{2a}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{2,16}}^2-{\mathrm{3,17}}^2}{2\cdot (-\mathrm{1,37})}}$

$\boxed{{\displaystyle d_{AB}=\mathrm{1,96}\text{ m}}}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cae}}{m}_3\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{C?}}$

Tras el choque $m_3$ sale de B con $v=\mathrm{1,2}\text{ m/s}$ y frena por el rozamiento, con desaceleración $a=-\mu g=-\mathrm{1,37}{\text{m/s}}^2$. La distancia que recorre hasta detenerse se obtiene de $0=v^2-2\mu gd$:

$d={\displaystyle \frac{v^2}{2\mu g}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{1,2}}^2}{2\cdot \mathrm{0,14}\cdot \mathrm{9,8}}}=\mathrm{0,52}\text{ m}$

Como $\mathrm{0,52}\text{ m}<\mathrm{0,8}\text{ m}$ (distancia BC), el cuerpo $m_3$ se detiene antes de llegar a C.

$\boxed{{\displaystyle \text{No cae por C: se detiene a }\mathrm{0,52}\text{ m de B}}}$