Ejercicio resuelto de MCU · Física y Química I

Un CD de Iron Maiden de 12 cm de diámetro tiene, en el transcurso de una fantástica canción, una frecuencia de 9 Hz. Se pide:

a) Aceleración en un punto de su periferia.

b) Velocidad de un punto situado a 1 cm del centro del CD.

c) Ángulo, expresado en rad, que habrá girado en 4 min.

En el esquema se muestra la situación descrita en el enunciado.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{periferia}}$

Cualquier punto del CD posee aceleración centrípeta, pues cuando gira cambian constantemente la dirección y el sentido de la velocidad de dichos puntos. Esta aceleración depende del cuadrado de la velocidad lineal y del radio de giro (o distancia del punto al centro del CD):

$a_c={\displaystyle \frac{v^2}{r}}$

Por otra parte, la velocidad lineal de cada punto del CD y la velocidad angular están relacionadas a través del radio:

$v=\omega r={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}r=2\pi fr$

Sustituyendo en la ecuación de la aceleración centrípeta, obtenemos:

$a_c={\displaystyle \frac{(2\pi fr{)}^2}{r}}=4{\pi }^2{f}^{2}r$

Para la periferia ($r=\mathrm{0,06}\text{ m}$, $f=9\text{ Hz}$):

$a_c=4{\pi }^2\cdot 9^2\cdot \mathrm{0,06}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{191,87}{\displaystyle \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}}$

Observar que el valor de la aceleración centrípeta es muy elevado; ello nos indica que, al girar muy rápido, es necesaria una elevada aceleración para mantener el punto describiendo un MCU.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{centro}}$

La velocidad lineal de un punto situado a 1 cm del centro del CD ($r=\mathrm{0,01}\text{ m}$) será:

$v=\omega r=2\pi fr=2\pi \cdot 9\cdot \mathrm{0,01}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{0,57}{\displaystyle \frac{\text{m}}{\text{s}}}}}$

Observar que cuanto más cerca del centro de giro se encuentre un punto, MENOR será la velocidad lineal a la que se desplaza (no así la velocidad angular $\omega$, que es igual para TODOS los puntos del CD).

$\mathbf{\text{c)}}\acute{\mathbf{\text{A}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{girado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{min}}$

El ángulo girado se obtiene a partir de la velocidad angular y el tiempo:

$\phi =\omega t$

La velocidad angular es:

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 9=\mathrm{56,55}{\displaystyle \frac{\text{rad}}{\text{s}}}$

Pasando el tiempo a segundos, $t=4\text{ min}=240\text{ s}$, el ángulo barrido es:

$\phi =\omega t=\mathrm{56,55}\cdot 240=\boxed{{\displaystyle \mathrm{13571,68}\text{ rad}}}$