Ejercicio resuelto de Magnitudes cinemáticas · Física y Química I

Las ecuaciones paramétricas que describen el movimiento de una pelota son, en unidades del SI:

$x=5t$

$y=1+5t-5t^2$

Calcular:

a) Ecuación de la trayectoria.

b) Desplazamiento en el primer segundo.

c) Velocidad media durante el primer segundo.

d) Velocidad y aceleración en cualquier instante, así como sus módulos.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}$

La trayectoria se obtiene eliminando el tiempo de las ecuaciones paramétricas del movimiento. De la primera ecuación obtenemos:

$t={\displaystyle \frac{x}{5}}$

Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos:

$\boxed{{\displaystyle y=1+x-{\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^2}}$

que se corresponde con la ecuación de una parábola invertida (movimiento de tipo proyectil).

$img:traj_parabola$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Desplazamiento}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{segundo}}$

El vector de posición en función del tiempo es:

$\vec{r}(t)=5t\vec{i}+(1+5t-5t^2)\vec{j}\text{ m}$

El desplazamiento se define como la variación del vector de posición. Sustituyendo $t=0\text{ s}$ y $t=1\text{ s}$:

${\vec{r}}_0=\vec{r}(t=0)=1\vec{j}\text{ m}$

$\vec{r}=\vec{r}(t=1)=5\vec{i}+1\vec{j}\text{ m}$

Así pues, el desplazamiento en el primer segundo será:

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }\vec{r}=\vec{r}-{\vec{r}}_0=5\vec{i}\text{ m}}}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Velocidad}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{segundo}}$

La velocidad media se define como el desplazamiento dividido entre el intervalo de tiempo:

${\vec{v}}_m={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\vec{r}}{\mathrm{\Delta }t}}={\displaystyle \frac{\vec{r}-{\vec{r}}_0}{t-t_0}}$

Sustituyendo el desplazamiento obtenido en el apartado anterior:

$\boxed{{\displaystyle {\vec{v}}_m={\displaystyle \frac{5\vec{i}}{1}}=5\vec{i}\text{ m/s}}}$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cualquier}}\mathbf{\text{instante}}$

La velocidad instantánea es igual a la derivada respecto al tiempo del vector de posición:

$\boxed{{\displaystyle \vec{v}={\displaystyle \frac{d\vec{r}}{dt}}=5\vec{i}+(5-10t)\vec{j}{\displaystyle \frac{\text{m}}{\text{s}}}}}$

Su módulo es:

$\boxed{{\displaystyle v=\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=\sqrt{5^2+(5-10t{)}^2}=\sqrt{50-100t+100t^2}{\displaystyle \frac{\text{m}}{\text{s}}}}}$

La aceleración instantánea es igual a la derivada respecto al tiempo del vector velocidad:

$\boxed{{\displaystyle \vec{a}={\displaystyle \frac{d\vec{v}}{dt}}=-10\vec{j}{\displaystyle \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}}$

cuyo módulo es:

$\boxed{{\displaystyle a=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=10{\text{m/s}}^2}}$