Ejercicio resuelto de Matemáticas I

Calcular, aplicando la definición, la función derivada de:

a) $f(x)=x^2-2x$

b) $f(x)=x^3+x$

Usamos la definición de derivada: $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\lim }_{h\to 0}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$.

$\mathbf{\text{a)}}$ Con $f(x)=x^2-2x$:

Calculamos $f(x+h)$ sustituyendo $x$ por $x+h$:

$f(x+h)=(x+h{)}^2-2(x+h)=x^2+2xh+h^2-2x-2h$

Restamos $f(x)$:

$f(x+h)-f(x)=(x^2+2xh+h^2-2x-2h)-(x^2-2x)=2xh+h^2-2h$

Dividimos entre $h$ y tomamos el límite:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\lim }_{h\to 0}{\displaystyle \frac{2xh+h^2-2h}{h}}={\lim }_{h\to 0}(2x+h-2)=2x-2$

$\mathbf{\text{b)}}$ Con $f(x)=x^3+x$:

Desarrollamos el cubo del binomio:

$(x+h{)}^3=x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3$

Entonces $f(x+h)=x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3+x+h$. Restamos $f(x)$:

$f(x+h)-f(x)=(x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3+x+h)-(x^3+x)=3x^{2}h+3x{h}^2+h^3+h$

Dividimos entre $h$ y tomamos el límite:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\lim }_{h\to 0}{\displaystyle \frac{3x^{2}h+3x{h}^2+h^3+h}{h}}={\lim }_{h\to 0}(3x^2+3xh+h^2+1)=3x^2+1$