Ejercicio resuelto de Física moderna · Física · 2025

Pregunta 1 (2,5 puntos).

Una fuente radiactiva emite neutrones que se mueven a una velocidad tal que su masa relativista es un $0,3\mathrm{\%}$ mayor que su masa en reposo.

a) (1,0 puntos) Determine la masa relativista del neutrón.

b) (0,75 puntos) Calcule la velocidad a la que se mueve el neutrón.

c) (0,75 puntos) Halle la longitud de onda de De Broglie asociada al neutrón.

Datos: Masa en reposo del neutrón $m_0=1,675\cdot {10}^{-27}\mathrm{k}\mathrm{g}$; Velocidad de la luz en el vacío $c=3\cdot {10}^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$; Constante de Planck $h=6,63\cdot {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{relativista}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{neutr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1,0}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Que la masa relativista sea un $\mathrm{0,3}\mathrm{\%}$ mayor que la masa en reposo significa que el factor de Lorentz vale:

$\gamma ={\displaystyle \frac{m}{m_0}}=\mathrm{1,003}$

$m=\mathrm{1,003}{m}_0=\mathrm{1,003}\cdot \mathrm{1,675}\cdot {10}^{-27}=\mathrm{1,680}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$

La masa relativista del neutrón es $\mathrm{1,680}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{neutr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$










El factor de Lorentz relaciona la masa relativista con la velocidad:

$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}}$

Se despeja la velocidad elevando al cuadrado:

$v=c\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{{\gamma }^2}}}$





$v=3\cdot {10}^8\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{1,003}}^2}}}=3\cdot {10}^8\cdot \mathrm{0,0773}$

$v=\mathrm{2,32}\cdot {10}^7\text{ m/s}$

El neutrón se mueve a $\mathrm{2,32}\cdot {10}^7\text{ m/s}$, que es el $\mathrm{7,7}\mathrm{\%}$ de la velocidad de la luz: un exceso de masa muy pequeño corresponde ya a una velocidad considerable.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{Broglie}}\mathbf{\text{asociada}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{neutr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Según la hipótesis de De Broglie, a toda partícula de cantidad de movimiento $p$ le corresponde una onda de longitud:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{mv}}$

Se usa la masa relativista, que es la que interviene en la cantidad de movimiento:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{1,680}\cdot {10}^{-27}\cdot \mathrm{2,32}\cdot {10}^7}}=\mathrm{1,70}\cdot {10}^{-14}\text{ m}$

La longitud de onda de De Broglie asociada al neutrón es $\mathrm{1,70}\cdot {10}^{-14}\text{ m}$, del orden del tamaño de un núcleo atómico.